¿Qué número es divisible por la mayoría de los números en relación con su tamaño?

Answer 1

Puedes interpretar esta pregunta como:

¿Cuál es el número más pequeño [math] a_n [/ math] con al menos divisores [math] n [/ math]?

Este es el tipo de pregunta perfecto para formular en la enciclopedia en línea de secuencias enteras. Dice que nuestra respuesta es la secuencia A061799 – OEIS:

1, 2, 4, 6, 12, 12, 24, 24, 36, 48, 60, 60, 120, 120, 120, 120, 180, 180, 240, 240, 360, 360, 360, 360, 720, 720, 720, 720, 720, 720, 840, 840, 1260, 1260, 1260, 1260, 1680, 1680, 1680, 1680, 2520, 2520, 2520, 2520, 2520, 2520, 2520, 2520, 5040, 5040, 5040

(Entonces, por ejemplo, 36 es el número más pequeño con 9 divisores).

En general, si un número [matemático] N [/ matemático] tiene una factorización prima

[matemáticas] N = p_1 ^ {a_1} p_2 ^ {a_2} \ cdots p_k ^ {a_k} [/ matemáticas]

entonces tiene exactamente

[matemáticas] (a_1 + 1) (a_2 + 1) \ cdots (a_k + 1) [/ matemáticas]

factores distintos, ya que los factores del número son precisamente números de la forma

[matemáticas] p_1 ^ {b_1} p_2 ^ {b_2} \ cdots p_k ^ {b_k} [/ matemáticas]

donde [math] 0 \ leq b_k \ leq a_k [/ math] para todos [math] k [/ math]. Para obtener el número más pequeño con al menos factores [matemáticos] n [/ matemáticos], querrá que los números primos sean lo más pequeños posible y que los exponentes no aumenten. Por lo tanto, busca minimizar

[matemáticas] 2 ^ {a_1} \ cdot 3 ^ {a_2} \ cdot 5 ^ {a_3} \ cdots [/ math]

sujeto a las restricciones

[matemáticas] a_1 \ geq a_2 \ geq a_3 \ geq \ cdots [/ math]

y

[matemáticas] (a_1 + 1) (a_2 + 1) (a_3 + 1) \ cdots \ geq n [/ matemáticas].

Me temo que, como muestra la secuencia anterior, realmente no se puede esperar que haya un gran patrón en los números resultantes; solo tienes que forzarlo brutalmente.

Answer 2

Considero la siguiente secuencia: 1, 2, 2, 3, 2, 4, 2, 4, 3, 4, 2, 6, 2, 4, 4, 5, 2, 6, 2, 6. Ese es el número de divisores para cada número entre 1 y 20. Si tuviéramos que enumerar los números del 1 al 30 en filas con la columna 1 como el número n, la columna 2 es esta secuencia (también llamada tau (n) y la columna 3 es la relación de la columna 2 dividido por la columna 1, interpretaría que este número busca los números que dan el valor máximo en la columna 3 con algún máximo especificado.

Aquí está esa lista con los números del 1 al 30 ordenados por la columna 3:

1 1 1
2 2 1
3 2 0.6667
4 3 0,75
5 2 0.4
6 4 0.6667
7 2 0.2857
8 4 0.5
9 3 0.3333
10 4 0.4
11 2 0.1818
12 6 0.5
13 2 0.1538
14 4 0.2857
15 4 0.2667
16 5 0.3125
17 2 0.1176
18 6 0.3333
19 2 0.1053
20 6 0.3
21 4 0.1905
22 4 0.1818
23 2 0,087
24 8 0.3333
25 3 0,12
26 4 0.1538
27 4 0.1481
28 6 0.2143
29 2 0.069
30 8 0.2667

Esta secuencia es interesante porque, en un nivel básico, puede responder la pregunta inicial observando la relación y ver qué número tiene una gran cantidad de factores en relación con su tamaño. Pero también puede mirar los números que lo rodean para ver cómo se compara. Por ejemplo, el número 3 tiene una relación de 2/3 que suena bien cuando lo escuchas por primera vez, pero luego te das cuenta de que está rodeado de números con relaciones de 1 y 3/4 que te hacen darte cuenta de que no es demasiado especial en este contexto . Luego podemos ver un número como 24, que tiene una relación de 1/3 que no suena tan bien como algunos de los números por debajo de 12, pero es un máximo de los números mayores que 12.

Aquí hay un enlace a esta secuencia en la página de la Enciclopedia en línea de secuencias enteras en oeis.org

Answer 3

12 es un número altamente compuesto, lo que significa que tiene más divisores que cualquier número menor. De hecho, es un número altamente compuesto superior, lo que significa que [matemática] n = 12 [/ matemática] tiene más divisores, en relación con [matemática] n ^ \ epsilon [/ matemática], que cualquier otro número [matemática] n [ / math], para algunos [math] \ epsilon> 0 [/ math] (en este caso, para cualquier [math] \ tfrac {\ log 2} {\ log 5} <\ epsilon <\ tfrac {\ log (3 / 2)} {\ log 2} [/ math]).

Los números superiores altamente compuestos son
2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200, 6983776800, 13967553600, 321253732800, 2248776129600, 65214507758400, 195643523275200, 6064949222, E1200 A492203, E1200 A492203, E12, AIS2015, OIS, EIS, A, E2, OIS, A, E, E, E, E, E, E, E, E, O, E, E, E, E, E, E, O, E, E, E, E, O, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, E, EUS.
Esta secuencia no es solo una lista de una variedad de registros. Realmente tiene una estructura genial: el término que sigue a [math] n [/ math] es [math] pn [/ math], donde [math] p [/ math] es el número primo con el mayor valor de [math] \ log_p \ tfrac {\ nu_p (n) + 2} {\ nu_p (n) + 1} [/ math]. (Aquí [math] \ nu_p [/ math] denota [math] p [/ math] -adic order).

Answer 4

2 y 1 deben ser el número, estos son divisibles por cada número positivo que sea menor o igual a este número, cualquier otro número no puede dividirse por todo el número menor que ese.

Answer 5

0 es divisible por todos los números y es el número más pequeño.