¿Son realmente los ‘problemas de Landau’ un problema?

Así es como lo veo. Hay un gran problema que los matemáticos están abordando, y es comprender la distribución de los números primos . Esta es probablemente la razón por la que estás diciendo que los cuatro problemas son realmente solo uno.

En el estado actual de nuestras matemáticas, entender los números primos por completo es un problema con el que simplemente no estamos listos para enfrentarnos. Imagine un bloque de mármol de 100 toneladas, y nosotros con solo un cincel y un martillo.

Los problemas de Landau son claros, problemas exactamente definidos que están relacionados con el gran problema, pero cada uno de ellos es, por sí solo, mucho más simple (aunque todavía es muy, muy difícil). En términos de nuestra metáfora, son algo así como las esquinas del gran bloque de mármol: lugares donde podemos comenzar a cortar algunas piezas pequeñas, y tal vez comenzar a probar y desarrollar mejores herramientas que nos ayudarán a eliminar más mármol en el futuro.

Dicho esto, estoy completamente en desacuerdo con la mayoría de lo que escribiste en los detalles de la pregunta. En particular:

  • No veo por qué deberían ser “no accesibles a la lógica determinista”. Estos son problemas claros, exactamente definidos, no unicornios mágicos del arco iris. No tienen ninguna propiedad que les haga imposible resolverlos utilizando una lógica determinista. Es solo que en este momento todavía nos faltan las herramientas adecuadas para hacerlo.
  • No tengo ni idea de lo que quieres decir cuando dices que son “verdaderas autorreferencialmente”. Eso, a mi entender, requeriría que digan una declaración sobre ellos mismos, lo que no dicen.
    Tal vez estabas tratando de decir que se definieron de una manera que los hace automáticamente verdaderos, pero ese tampoco es el caso. No sabemos si son ciertas. Los matemáticos observaron en datos conocidos que parecen ser ciertos, y conjeturaron que siguen siendo ciertos también para números primos más grandes.
  • En cuanto a la conjetura de Legendre, tenemos fuertes razones estadísticas para creer que es verdad, pero no es “demostrable”. cierto. No podemos, por el momento, demostrar eso todavía.

En general, cuando se trata de números primos, confiar en las estadísticas no siempre es una estrategia infalible. Por ejemplo, considere los problemas relacionados con el sesgo de Chebyshev. Uno de ellos es el siguiente: Lista primos a partir de 5:

5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …

Mire sus restos módulo 3. Algunos de ellos dan el resto 2, algunos dan el resto 1. Esto es lo que sucede al principio:

2, 1, 2, 1, 2, 1, 2, 2, …

Parece que el resto 2 es al menos tan frecuente como el resto 1. Interesante, investiguemos eso.

Aquí hay una imagen de Wolfram que muestra cómo se comporta la diferencia entre los primos “resto 2” y “resto 1” para los primeros 10,000 de ellos:

Ahora, suponga que ejecutó un programa de computadora que calculó los primeros primos [matemáticos] 10,000,000,000 [/ matemáticos] (es decir, todos los primos hasta algo así como [matemáticos] 263,000,000,000 [/ matemáticos]). Esto es lo que vería: siempre , para cualquier [matemática] n [/ matemática], si mira los números primos [matemática] p_3 [/ matemática] a [matemática] p_n [/ matemática] (omitimos [matemática] p_1 = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] p_2 = 3 [/ matemáticas]), el resto 2 sería al menos tan frecuente como el resto 1, con el resto 2 a menudo por un amplio margen.

Wow, un cuarto de billón de números y no una sola excepción, esto debe ser siempre cierto, ¿verdad? Incorrecto. Solo en 1978 Bays y Hudson encontraron el primer contraejemplo: para [matemáticas] n = 23,338,590,792 [/ matemáticas] el resto 1 es el más frecuente entre los números primos [matemáticas] p_3 [/ matemáticas] a [matemáticas] p_n [/ matemáticas] para la primera vez.

Al abordar la respuesta de Michal Forišek, no veo la relevancia de los restos entre los números primos consecutivos cuando el tema es la distribución y, más específicamente, la frecuencia de los números primos en relación con los números cuadrados.

Ese es el tema explícito de los problemas Landau segundo, tercero y cuarto.

Para la Conjetura de Legendre, haré las siguientes observaciones:

Aquí hay un gráfico que muestra los espacios entre el primer primo después del cuadrado y el espacio entre este primer primo y el siguiente cuadrado, en una escala logarítmica, sin tener en cuenta todos los demás números primos (que se muestran en el segundo gráfico) …

Re: En cuanto a la conjetura de Legendre, tenemos fuertes razones estadísticas para creer que es cierto, pero no es “demostrablemente” cierto. No podemos, por el momento, demostrar eso todavía.
De Verdad…?!

Aquí hay un gráfico que traza todos los números primos entre números cuadrados, y esto es solo para X ^ 2 hasta 625 (no hay espacio para más) …

Una imagen o dos vale más que mil palabras. ¿Qué podría demostrar la “brecha” ( desconexión ) entre la teoría matemática y la realidad matemática más claramente que esto?

Aquí hay un gráfico que muestra el emparejamiento consistente de p * 2 y p * 3 semiprimes para cada intervalo cuadrado …

FYI Todos estos gráficos se generan en Excel. El último es de este código VBA. (Si encuentra errores, asegúrese de avisarme).