Creo que estás hablando de números finitos aquí en lugar de números infinitos. Entonces, en realidad, eso es algo que analicé como parte de mi investigación en matemáticas finitistas.
Hay un artículo interesante aquí de Van Dantzig llamado ¿Es 10 ^ 10 ^ 10 un número finito?
Entonces, ese es un número que es demasiado grande para expresarse como una fila de dígitos en formato decimal en la práctica. Sin embargo, podría escribirlo si pudiera convertir todas las estrellas y galaxias en el universo observable en dígitos.
Sin embargo, algo así como 10 ^ 10 ^ 100 es demasiado grande para eso.
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Entonces, ¿qué pasa con los números que puedes expresar de cualquier manera posible?
Bueno, puedes describir números enormemente enormes usando la notación de flecha hacia arriba de Knuth 
y así.
Eso es solo un comienzo.
Podriamos definir
A (a, b) = a (flechas arriba) b.
O
A (a, b) = a seguido de a (a flechas arriba) b de esas flechas arriba, luego b
etc.
por ejemplo,
Pero, por supuesto, todos son, aunque enormes en comparación con la mayoría de los cálculos que hacemos en nuestra vida cotidiana, absolutamente pequeños en comparación con el infinito.
Y son realmente fáciles de escribir con unos pocos símbolos una vez que tienes el truco de ellos.
Entonces, entonces, ¿hay un “número demasiado grande para escribir con nuestras matemáticas”?
Bueno, eso se pone complicado.
Parece intuitivamente que seguramente debe haber. Pero, primero, ¿qué significa “nuestras matemáticas” aquí?
Y, ¿eso incluye probar que el número existe? Y si es así, ¿qué cuenta como “existe” aquí?
Un ejemplo de un número muy grande que podemos definir utiliza la función “castor ocupado”.
El problema del castor ocupado
Así que aquí, esencialmente
B (n) = mayor número de 1s consecutivos que puede imprimir un programa con n símbolos de código de computadora.
Por ejemplo, sería fácil escribir un programa de computadora corto para escribir 10 ^ 10 ^ 10 “1” s.
Se define utilizando “máquinas de Turing”: este es un lenguaje de programación simplificado, de interés matemático, en lugar de ser útil para escribir código de computadora.
– pero es esencialmente la misma idea si usa algún lenguaje, por ejemplo, podría definirlo en código c. Por ejemplo, cualquier programa c para, por ejemplo, imprimir la secuencia de “1” s es equivalente a algún programa de máquina de Turing y viceversa
Entonces, ¿B (n) realmente define un número?
Por ejemplo, este programa simple (en pseudocódigo):
Genera los números pares
2, 4, 6, 8, …Para cada número, vea si es una suma de dos primos. Si es así, imprima un “1”. Si no es así, detente.
Entonces, ¿este programa continúa para siempre?
Para descubrirlo, necesitamos resolver la conjetura de Goldbach, y actualmente nadie sabe cómo hacerlo.
Conjetura de Goldbach
Si se detiene, entonces nos da un número finito de “1”, por lo que define un número, que puede ser absolutamente enorme, no hay razón para no hacerlo realmente.
Si continúa para siempre, entonces no lo hace.
Entonces, la definición de B (n) requiere que resolvamos muchas conjeturas no resueltas.
Como resultado, puede probar que nunca podemos encontrar un método de cálculo de B (n) para todos los n. Es lo que se llama una función “no computable”.
Hemos encontrado los primeros valores, pero se cree que probablemente B (6) nunca se calculará.
Los filósofos difieren aquí sobre si la función de castor ocupado realmente define o no una función.
Los intuicionistas requieren que todas las pruebas y definiciones sean constructivas. Y la función de castor ocupado no lo es.
Entonces, por ejemplo, si defino f (10,000) = mayor número de “1” s, puede imprimir con un programa de computadora de 10,000 caracteres
no hay forma, incluso en principio, de averiguar cuál es ese número y cuál es el programa de computadora que genera ese número. Entonces esa no es una definición constructiva de un número.
Los intuicionistas no tienen problemas con los gustos de PI. Aunque solo podemos escribir finitamente muchos dígitos de PI en la práctica, tenemos un procedimiento que podemos usar para escribirlo en tantos dígitos como queramos en principio. Entonces eso es “constructivo”.
Pero con los gustos de la conjetura de Goldbach: no hay ningún procedimiento que podamos seguir que garantice que se pruebe la conjetura o que se encuentre el primer ejemplo contrario.
La mayoría de los matemáticos que trabajan usan la lógica clásica. Para ellos, entonces el B (10,000) es un número perfectamente aceptable, aunque no computable.
Entonces, en la lógica clásica, la definición de castor ocupado define una función.
Y con la lógica clásica, puede continuar y definir una jerarquía completa de funciones de “castor super ocupado” que son incluso más rápidas que la función de castor ocupado.
ver
¿Quién puede nombrar el número más grande?
Luego, en ese documento, tiene este como el desafío:
Tienes quince segundos. Usando la notación matemática estándar, palabras en inglés, o ambos, nombra un solo número entero, no un infinito, en una tarjeta en blanco. Sea lo suficientemente preciso para que cualquier matemático moderno razonable determine exactamente qué número ha nombrado, consultando solo su tarjeta y, si es necesario, la literatura publicada.
Pero, ahora, aumentemos ese tiempo, digamos, 1 año. Y puedes usar tanto papel como quieras.
Entonces, definamos n como el número finito más grande que un matemático humano podría definir con un año de trabajo utilizando cualquier artículo en la literatura matemática publicada existente, con una probabilidad de definir al menos 1 en un millón.
Con dos versiones: constructiva o clásica, según su preferencia.
¿Eso define un número?
¿Qué tal mil años de trabajo por un proyecto que involucra mil matemáticos a tiempo completo? ¿Y reducir la probabilidad de éxito a 1 en un billón?
¿Eso define un número?
Sin embargo, es una definición vaga de un número; parece definir, o al menos tal vez, una pista, algo, y obviamente es mucho más grande que cualquier cosa que pueda definir en unos minutos.
Y puede continuar e inventar definiciones de números en lenguaje natural cada vez más vagas, que, sin embargo, parecen tener algún tipo de sentido.
Intuitivamente, parece obvio: los humanos están limitados en tiempo y espacio. Debe haber algún límite para cuál es el número más grande que podemos definir.
Y si lo limita a tipos particulares de notación en un sistema simple de notación limitada, por ejemplo, escribirlo en decimal, es fácil encontrar límites.
Pero cuando permite la plena expresividad de las matemáticas y la informática, es realmente difícil encontrar un límite sensible en el número más grande que podamos definir, o encontrar un número demasiado grande para definir.
A medida que lo intentas, se vuelve cada vez más vago.
Después de todo, si pudieras definir un límite superior para el número más grande que un humano puede escribir, entonces como eres humano, entonces ya has definido un número mayor de esta manera indirecta.
Aún así, parece intuitivamente, que posiblemente no podamos definir números arbitrariamente grandes, debe haber alguna limitación. Cualquier cosa que podamos definir es seguramente todavía pequeña en comparación con el infinito.
Pero en realidad entender cuál es esa limitación, eso es bastante difícil de alcanzar. Puedes insinuarlo, eso es todo.
Tanto para los constructivistas que necesitan una construcción de un número antes de que puedan definirlo, como para las matemáticas clásicas en las que puede definir, por ejemplo, B (10,000) y afirmar que significa algo, aunque no tenemos forma de calcularlo por definición, ambas formas se obtienen de la misma manera. problema, que seguramente debemos ser limitados, qué números podemos definir, de manera práctica, en un período de tiempo práctico.
Por ejemplo, seguramente hay números demasiado grandes para que los humanos o los extraterrestres o cualquier criatura los defina, dentro de nuestro universo observable, utilizando los materiales dentro del universo y, digamos, mil millones de años de trabajo.
O, de hecho, incluso si permite un tiempo ilimitado para trabajar en el problema (como podría ser posible en algunas formas de pensar sobre el universo, por ejemplo, en la página de ideas de Freeman Dyson en www.aleph.se), pensaría que seguramente debe haber un límite a lo que incluso el matemático más ingenioso podría expresar en una fórmula que se pueda escribir físicamente dentro de nuestro universo.
Pero si es así, parece que solo podemos insinuar nuestros límites de manera indirecta.
Tenga en cuenta que debe tener cuidado debido a la paradoja de Berry: “El entero positivo más pequeño no se puede definir en menos de once palabras”.
– que acabo de definir en diez palabras.
Entonces, podría pensar que es fácil simplemente definir U, por ejemplo, como el número más pequeño que los humanos no pueden definir: no sabemos qué es, pero aún podemos definirlo.
Pero, una definición tan simple no va a funcionar debido a una paradoja de tipo Berry, si eso define un número, obviamente es definible por nosotros, una paradoja.
Sin embargo, seguramente podemos definir números enormemente grandes de una manera clara e inequívoca. Y seguramente hay un límite para lo que podemos hacer aquí, pero solo podemos insinuar esa posibilidad: cualquier intento de precisarlo se convierte en otra forma de definir números aún más grandes, o de lo contrario, nos lleva a la paradoja.