¿Se puede aplicar el principio de la navaja de Occam a las matemáticas, y a la teoría de números en particular, o es relevante solo para las ciencias naturales?

Answer 1

Bueno, depende de cómo interpretes el principio.

No

La matemática no es una ciencia. No hace predicciones comprobables de la realidad. En ese sentido, el principio no solo no se aplica en matemáticas, sino que ni siquiera tiene ningún significado . Aquí me refiero a la declaración moderna:

Cuando tienes dos teorías en competencia que hacen exactamente las mismas predicciones, la más simple es mejor.

si

Si mantiene la declaración original, o simplemente cambia un poco la redacción de la declaración moderna, puede llegar a algo que se aplica a las matemáticas. A saber,

Cuando tienes dos marcos axiomáticos competitivos que prueban exactamente los mismos teoremas, el más simple es mejor.

De hecho, me inclino a decir que no solo se aplica, los matemáticos están bastante obsesionados con eso. Hubo una vez un gran esfuerzo llamado programa de Hilbert, dirigido por el famoso matemático del siglo XIX David Hilbert,

basar todas las teorías existentes en un conjunto finito y completo de axiomas, y proporcionar una prueba de que estos axiomas eran consistentes. *

Desafortunadamente, esto no fue solo difícil; Esto fue imposible.

Los teoremas de incompletitud de Gödel, publicados en 1931, mostraron que el programa de Hilbert era inalcanzable para áreas clave de las matemáticas. *

Sobre el primer teorema de incompletitud:

Cualquier teoría generada efectivamente capaz de expresar aritmética elemental no puede ser consistente y completa. En particular, para cualquier teoría formal consistente y efectivamente generada que pruebe ciertas verdades aritméticas básicas, existe una afirmación aritmética que es verdadera, [1] pero no demostrable en la teoría (Kleene 1967, p. 250). *

Nota al margen: si alguien intenta convencerte de que los teoremas de incompletitud de Gödel prueban algo sobre una situación de la vida real (o incluso que se aplican a Dios), lo más probable es que esté lleno de mierda y no tenga idea de lo que está hablando.

Cortesía de xkcd.

Aún así, los matemáticos trabajan duro para mostrar teoremas con el menor axioma posible. Creo que esto podría interpretarse como una especie de uso de la navaja de afeitar de Occam.

* Cortesía de Wikipedia.

Answer 2

Si la Navaja de Occam es aplicable a las matemáticas o no depende de cómo veamos los conceptos de predicción y explicación. Supongamos que decimos que un conjunto de proposiciones P1 predice un conjunto de proposiciones P2 si y solo si P2 se deriva lógicamente de (= se deduce lógicamente de) P1 (si la lógica utilizada es la de deducción clásica, la deducción probabilística o la deducción vencible). ) En este sentido, las proposiciones “Todo mamífero es un vertebrado” y “Todo chimpancé es un mamífero” predice “Todo chimpancé es un vertebrado”. También podemos decir que un conjunto de proposiciones P1 explica un conjunto de proposiciones P2 si consideramos que P2 es creíble, y P1 nos dice por qué P2 es creíble al predecir P2 a partir de P1. En este sentido, la prueba de la conjetura de que la suma de los ángulos en un triángulo es dos ángulos rectos (P2) ‘explica’ la conjetura al mostrar que es deducible de los axiomas y definiciones euclidianos (P1).

En matemáticas, una prueba de un enunciado es también su explicación. En ciencia los dos son distintos. Probamos la afirmación de que hay un ciclo anual de temperatura haciendo un gran número de observaciones, pero después de probarlo, lo explicamos mostrando que es deducible de las proposiciones de la teoría heliocéntrica. (Nota: ‘prueba’ aquí no es una que use deducción clásica).

¿Cómo es esto relevante para la navaja de Occam? Imagine la siguiente ‘descripción’ de triángulos. Un triángulo tiene tres ángulos y tres aristas. Todos sus bordes son rectos. La longitud de cada borde es menor que la suma de los otros dos bordes. Cada ángulo debe ser inferior a dos ángulos rectos. La suma de todos sus ángulos es dos ángulos rectos. Si las longitudes de dos de sus bordes son iguales, entonces dos de sus ángulos son iguales. Su área es producto de su base y altura dividida por dos.

Podemos explicar estas declaraciones descriptivas al construir una ‘teoría’ de triángulos. La teoría solo necesita una declaración, a saber, una definición de triángulos. ¿Qué definición deberíamos tener? Considere las siguientes posibilidades:
Definición 1: Un triángulo es un polígono de tres lados.
Definición 2: Un triángulo es una figura limitada por tres líneas rectas.

¿Qué definición / teoría es mejor? Bueno, si aceptamos la definición 1, muchas propiedades de los triángulos se heredan lógicamente de las propiedades de los polígonos. Por lo tanto, podemos mostrar que la suma de ángulos en un polígono convexo de n lados es n-1 ángulos rectos. Si un triángulo es un polígono, entonces la proposición de que la suma de sus ángulos es dos ángulos rectos se deduce de que es un polígono y el número de sus lados es tres. Declaraciones similares sobre proposiciones como la longitud de cada borde es menor que la suma de los otros dos bordes. (Idea central: una categoría hija hereda lógicamente las propiedades de la categoría madre).

Observaciones similares se aplican a preguntas como si deberíamos definir un cuadrado como una subcategoría de rectángulos o como distinto de los rectángulos, si deberíamos definir un rectángulo como una subcategoría de paralelogramos o como distinto de paralelogramos. En última instancia, se reduce a: ¿qué taxonomía de polígonos es la mejor? La respuesta es: aquello que produce las mejores predicciones de la menor cantidad de estipulaciones. Esta es la navaja de Occam en geometría.

En este momento, no puedo pensar en un ejemplo revelador de la Navaja de Occam en teoría de números.

Answer 3

Pobre Bill Él, Kurt Gödel y Thomas Kuhn deben compadecerse en una vida futura especialmente dedicada a filósofos incomprendidos.

Por un lado, no encontrarás su famosa Razor en sus escritos sobrevivientes.

> No multiplique entidades más allá de la necesidad.

* Ver * Spade, Paul Vincent y Panaccio, Claude, “William of Ockham”, The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Edición otoño 2011), Edward N. Zalta (ed.) Para obtener un resumen del trabajo de Ockham. [SEP]

El ideal subyacente de la parsimonia en la explicación de la naturaleza y esencia de las entidades fue apenas controvertido en ese entonces o recientemente.

> Apenas se puede negar que el objetivo supremo de toda teoría es hacer que los elementos básicos irreducibles sean lo más simples y lo menos posible sin tener que renunciar a la representación adecuada de un solo dato de experiencia.

Einstein, Albert, “Sobre el método de la física teórica”, The Herbert Spencer Lecture, pronunciada en Oxford (10 de junio de 1933); publicado también en Philosophy of Science, vol. 1, N ° 2 (abril de 1934), págs. 163-169., Pág. 165, citado en [Wikiquotes].

Como señala Al, por supuesto, el truco radica en asegurarse de que no deje ninguna parte sobre la mesa cuando vuelva a armar el reloj de su padre.

Pero las heurísticas útiles son difíciles de encontrar y no deben descartarse casualmente. En matemáticas (supongo, no ser matemático) nunca está de más preguntar si una prueba podría hacerse más elegante, o si no tiene en cuenta algún caso. Tomado de esa manera, más que como un principio decisivo para la verdad, merece un lugar en su bolso de mano mental.

[SEP]: http://plato.stanford.edu/archiv …

[Wikiquotes]: http://en.m.wikiquote.org/wiki/A …

Answer 4

La Navaja de Occam no es más que una regla de oro. Con frecuencia es correcto, pero de ninguna manera capaz de rigor matemático.