Hay más de una forma de derivar la fórmula.
[matemáticas] a + ar + ar ^ 2 + \ cdots = \ dfrac {a} {1 – r} [/ matemáticas]
para la suma de las series geométricas infinitas.
Por ejemplo, podríamos comenzar con la suma de las series geométricas finitas:
- Dado un número n, ¿cuál es la probabilidad de que n sea primo?
- Si la conjetura de Goldbach fuera cierta, ¿cuáles serían las implicaciones?
- ¿Hay un número que no se puede expresar de ninguna manera debido a las limitaciones de nuestro universo?
- ¿Hay algún algoritmo que pueda usar para memorizar enteros positivos largos?
- ¿Cómo entender el teorema del resto chino? ¿Cuáles son algunos ejemplos?
[matemáticas] a + ar + ar ^ 2 + \ cdots + ar ^ {n-1} = a \ left (\ dfrac {1 – r ^ n} {1 – r} \ right) [/ math]
y calcule el límite como [math] n \ to \ infty [/ math]:
[matemáticas] \ lim \ limits_ {n \ to \ infty} a \ left (\ dfrac {1 – r ^ n} {1 – r} \ right) = \ dfrac {a} {1 – r} [/ math]
si [matemáticas] | r | <1 [/ math] (porque [math] r ^ n \ a 0 [/ math] como [math] n \ to \ infty [/ math] cuando [math] | r | 1 [/ math], el límite se convierte en infinito, y cuando [math] r = 1 [/ math], la serie geométrica tiene [math] a [/ math] como cada uno de sus términos, por lo que nuevamente la suma se vuelve infinita .
Otra forma de calcular la suma es, suponiendo que la suma exista, que sea
[matemáticas] S = a + ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + \ cdots \ Rightarrow [/ math]
[matemáticas] rS = ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + ar ^ 4 + \ cdots \ Rightarrow [/ math]
[matemáticas] S -rS [/ matemáticas]
[matemáticas] = (a + ar + ar ^ 2 + \ cdots) – (ar + ar ^ 2 + ar ^ 3 + \ cdots) [/ math]
[matemáticas] (1 – r) S = a \ Rightarrow [/ matemáticas]
[matemáticas] S = \ dfrac {a} {1 – r} [/ matemáticas]
Las series aritméticas infinitas no tienen suma. En general, la suma de una serie infinita se define (es decir, la serie converge) solo si su término [matemático] n ^ {\ text {th}} [/ matemático] se aproxima a [matemático] 0 [/ matemático] como [matemático ] n [/ math] se acerca a [math] \ infty [/ math]. Tenga en cuenta que esta es una condición necesaria y no suficiente. Por ejemplo, la serie armónica [matemáticas] 1 + \ dfrac {1} {2} + \ dfrac {1} {3} + \ cdots [/ matemáticas] cumple esta condición, pero no es convergente (por lo que es divergente ).
