Dado un número n, ¿cuál es la probabilidad de que n sea primo?

Answer 1

Su pregunta no está bien planteada como se le preguntó. De hecho, dado el número n, entonces ES o NO ES primo. No hay nada al azar en su descripción, por lo que no hay forma de usar un modelo de probabilidad.

Por ejemplo:
Dado 3, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo? Respuesta 1.
Dado 4, ¿cuál es la probabilidad de que sea primo? Respuesta: 0.

Ahora, es probable que quieras preguntar algo como:

“Elija un número al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que el número que elija sea primo?”

Esta todavía no es una pregunta bien planteada, pero nos estamos acercando. Primero, probablemente no se refiera a NINGÚN número (ya que solo los enteros positivos pueden ser primos). Eso es fácil de arreglar. Simplemente comience la pregunta como: “Elija un entero positivo al azar …”

El problema más importante es que cuando la gente dice “Elige algo al azar”, generalmente significan que todas las opciones son igualmente probables. Este procedimiento conduce a lo que se llama una distribución uniforme (ya sea discreta o continua). Desafortunadamente, aquí nos topamos con el problema más grande. No hay un modelo de probabilidad VÁLIDO que pueda asignarse para dar la misma probabilidad a todos los enteros positivos. (Si les asigna un número distinto de cero, sumar todas sus probabilidades juntas le da infinito en lugar de uno. Si les asigna a todos probabilidad cero, entonces esa suma es cero en lugar de uno).

Por lo tanto, resulta que no podemos modelar “Elija un número al azar del conjunto de todos los enteros positivos de manera que cada número sea igualmente probable que sea elegido”.

Entonces, ¿qué podemos hacer para solucionar este problema? Bueno, la idea más directa es tratar de responder esta pregunta usando límites.

Considere los primeros N enteros positivos. Elija uno al azar (uniformemente). Encuentre la probabilidad de que este número sea primo. Llame a ese resultado [matemática] P_N [/ matemática]. Ahora calcule [math] \ lim_ {N \ to \ infty} P_N [/ math]. La respuesta es cero.

Answer 2

La forma en que organizas los números tiene mucho que ver con esta respuesta. Elija sus [math] n [/ math] s de las tiras amarillas de esta tabla si desea encontrar números primos (representados por [math] 1 [/ math]). Elija sus [matemáticas] n [/ matemáticas] de las bandas azules, y puede estar seguro de que NUNCA encontrará una prima.

¿Por qué? Esta tabla utiliza las propiedades de un primorial ([matemática] 2 * 3 * 5 * 7 = 210 [/ matemática]) para estructurar la recta numérica simétricamente. La tabla está incompleta, pero muestra los números de conteo disminuyendo en una dirección y aumentando en la otra. El pivote es el punto medio del primorial ([math] 105 [/ math]), o un múltiplo del primorial. La distribución de los factores primos mínimos (los números que se muestran debajo de los compuestos) es simétrica alrededor del punto medio primitivo. Los compuestos que están alineados con primos (es decir, ocupan una posición emparejada que de otro modo serían primos) tienen un límite superior ajustado, determinado por su factor primo mínimo mayor que el factor mayor del primorial y menor que la raíz cuadrada de [matemáticas] 210 [/ matemática] o un múltiplo de ella.

Answer 3

De acuerdo con el teorema del número primo, la probabilidad de que un número entero, n, sea primo es aproximadamente [matemática] \ frac {1} {\ ln (n)} [/ matemática].

Sin embargo, los números primos no son densos en los enteros. Como resultado, si no sabía ny simplemente preguntaba “voy a elegir un entero positivo, n, menos de K de manera uniforme al azar. ¿Qué es [matemáticas] \ lim_ {K \ to \ infty} [/ matemáticas] P [n es primo]? ” La respuesta sería [matemáticas] 0 [/ matemáticas].
¿Por qué usé K como límite superior y tomé el límite cuando K fue al infinito? Porque no puedes elegir un entero uniformemente al azar del conjunto de todos los enteros. Simplemente no tiene ningún sentido.

Answer 4

No estoy seguro de que esta sea una pregunta que deba responderse.

Parece que hay un número infinito de primos.

Pero hay un número infinito de números pares, pero la probabilidad de obtener un número par (cuando se restringe a enteros) es 1/2. Porque en cualquier intervalo grande, la probabilidad es 1/2 (si hay un número par de números en el intervalo, o muy cerca de 1/2 si hay un número impar de números en el intervalo, y cuanto mayor sea el intervalo, más cerca de 1/2 esto será).

Pero no puede aplicar ese tipo de lógica a los números primos, porque a medida que los intervalos se hacen más y más grandes, la probabilidad de seleccionar aleatoriamente un número primo se hace cada vez más pequeña. Entonces, la probabilidad se acerca a cero, pero claramente nunca llega a cero, porque existen algunos números primos.

Answer 5

Inicialmente, no más del 40% una vez que elimine 2 y 5. Un número primo nunca terminará en un número par o terminará en un cero o 5. Un primo terminará en 1,3,7 o 9. Entonces 4 de 10 posibles dígitos.

Una vez que elimine los valores obvios no primos mediante este simple tamiz, puede aplicar pruebas de probabilidad para determinar si un valor es primo antes de aplicar un algoritmo de verificación.

Prueba de primitividad de Fermat
Prueba de primalidad AKS

No soy matemático.

Answer 6

Vine aquí porque hice la pregunta yo mismo, pero no encontré las otras respuestas muy útiles. Esta es la probabilidad de que un número aleatorio sea primo:

Deje que P represente un número primo.

Supongamos que P1 representa el número primo que procede de P y que P2 es el que procede de P1.

{(P – 1) / P} * {(P1 – 1) / P1} * {(P2 – 1) / P2} * {(P3 – 1) / P3} * {(P4 – 1) / P4}… {(2–1) / 2} = La probabilidad de que un número después de P sea primo, hasta el próximo número primo

Aquí hay algunos gráficos descuidados:

Notarás que a P = 1000 obtienes 8%.
En P = 10,000; 6%
P = 100,000; Cerca del 5%.
Y a 1,000,000; alrededor del 4%.

Probablemente sea seguro asumir que la probabilidad se acerca a cero.

Answer 7

De acuerdo con el Teorema de los números primos a lo largo de toda la recta numérica natural,

la probabilidad de que n sea un número primo es aproximadamente 1 / Log (n) donde Log () es la función logarítmica natural.

Answer 8

Si elige un número grande N y luego elige aleatoriamente un número p entre 0 y N, entonces la probabilidad de que p sea primo es 1 / ln (N).