¿Cuál es el número de soluciones de a + b + c = 15 con valores enteros no negativos para a, byc?

Answer 1

TLDR: La fórmula dada por Siddharth Mundada es correcta, y para preguntas similares, puede usarla para determinar la cantidad de soluciones enteras no negativas.

La fórmula general es (n + r-1) C (n-1) donde
r = RHS de la ecuación
n = número de variables

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Para comprender cómo se puede explicar esta fórmula, imagine el siguiente escenario:

Tienes 3 cajas, en las que debes colocar 15 artículos idénticos. ¿De cuántas maneras puedes hacer esto?

Deje _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ser los 15 elementos

Ahora lo que queremos hacer es insertar dos particiones | El | para que estos 15 artículos se dividan en 3 cajas. Algo como esto:

_ _ _ _ | _ _ _ _ _ _ _ | _ _ _ _ correspondiente a (4,7,4)

O
Me gusta esto

_ _ _ _ | _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ | correspondiente a (4,11,0)

Por lo tanto, básicamente puede insertar una partición en cualquier lugar de los espacios entre dos elementos, incluidos los dos extremos de la cadena.

-> Tienes 16 espacios para elegir inicialmente en los que puedes colocar la primera partición
-> Tienes 17 espacios para elegir la segunda partición después de colocar la primera partición
Por lo tanto, no de maneras = 16 * 17

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sin embargo
Al intercambiar la primera y la segunda partición entre sí, no tenemos nuevas soluciones
es decir

_ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2 _ _ es lo mismo que

_ _ _ _ 2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _

Por lo tanto, en general, debe dividir por n! donde n es el número de particiones para dar cuenta de esto.

-> Respuesta = 16 * 17/2 = (15 + 3-1) C (3-1)

Answer 2

Manera fácil sin una fórmula:

Para a = 0 hay 16 posibilidades de 0, 15 a 15, 0 para b, c = 16 soluciones

Para a = 1 hay 15 posibilidades de 0, 11 a 14, 0 para b, c = 15 soluciones

.

.

Para a = 15 solo hay 1 posibilidad 0, 0 para b, c = 1 solución

Número de soluciones 1 + 2 +… + 16

1+ 16 = 17

2 + 15 = 17

.

.

8 + 9 = 17

Nos da 8 veces 17 = 136 soluciones

Answer 3

Gracias por el A2A.
Hagamos una analogía aquí. Cada solución al problema anterior puede considerarse como una secuencia única que consiste en ceros [matemáticos] 15 [/ matemáticos] y [matemáticos] 2 [/ matemáticos] ( que actúan como divisores). El número de ceros a la izquierda del primer [matemático] 1 [/ matemático] es igual a [matemático] a [/ matemático], el número de ceros entre los dos [matemático] 1 [/ matemático] es [matemático] b [/ math] y el número de ceros a la derecha del segundo [math] 1 [/ math] es [math] c [/ math]. Cada secuencia de este tipo puede mapearse biyetivamente a una solución particular al problema anterior. El número de tales secuencias es [matemática] 17 C 2 [/ matemática] es decir [matemática] 136 [/ matemática].

Answer 4

Esto es similar a distribuir “n” cosas idénticas en “r” diferentes cuadros =

[matemáticas] n + r-1C_ {r-1} [/ matemáticas]

Como los valores solicitados no son negativos, significa que se pueden incluir ceros

entonces no de soluciones = [matemáticas] {15 + 3–1} C_ {3–1} = [/ matemáticas] [matemáticas] 17C_2 [/ matemáticas]

Si se pidieron los valores enteros positivos entonces;

No de soluciones = [matemáticas] 12 + 3–1C_ {3–1} = [/ matemáticas] [matemáticas] 14C_2 [/ matemáticas]