Como dijo Thomas Dalton, no hay mucha diferencia, pero creo que puedo ilustrar …
Mira lo que sucede con una pequeña torre de exponentes cuando sacas la raíz cuadrada.
[matemáticas] \ sqrt {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 3 ^ {\ frac {1} {2} \ veces 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} [/ matemáticas]
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[matemáticas] = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}} + \ log_ {3} {\ frac {1} {2}}}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}} – 0.6309 \ ldots}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27} – 0.6309 \ ldots}} [/ matemáticas]
entonces…
[matemáticas] \ sqrt {3 ^ {3 ^ {7625597484987}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484986.36 \ ldots}} [/ matemáticas]
Observe que la representación expandida del tercer exponente en la torre casi no cambió después de sacar la raíz cuadrada.
Tenga en cuenta que el número de Graham es una torre de exponentes tan alta que necesita una notación especial (notación de flecha hacia arriba de Knuth) para representarla.
Si consideramos el número creado al eliminar solo UNA flecha de las flechas [matemáticas] G_ {63} [/ matemáticas] en el paso final para producir el número de Graham, habremos eliminado una cantidad increíble de 3 de la torre de exponentes, y el número producido será mucho menor que la raíz cuadrada del número de Graham.
Si eliminamos un solo 3 de la torre de exponentes que conforman el número de Graham, habremos producido un número mucho más pequeño que la raíz cuadrada del número de Graham.
Si tratamos de propagar el efecto de llevar la raíz cuadrada a la parte superior de la torre de [matemáticas] 3 [/ matemáticas] que componen el número de Graham, entonces la cantidad que restamos de la parte superior [matemáticas] 3 [/ matemática] será tan pequeña que, para representar el número de ceros entre el punto decimal y el primer dígito decimal distinto de cero a la derecha del punto decimal de este pequeño número, necesitaremos la notación de flecha hacia arriba de Knuth.