Solo para agregar: depende de cómo lo pienses. Entonces, por ejemplo, un mapa de un continente, diría la mayoría de la gente, es más pequeño que el continente. Así que seguramente debe tener menos puntos, ¿crees?
(Esta respuesta fue para la versión original de la pregunta que decía “cantidad”, que los matemáticos podrían interpretar como número o medida, ahora que dice “número”, entonces esta respuesta no se aplica, pero la deja en caso de que alguien esté interesado )
Entonces, por ejemplo, la mayoría de la gente diría que este mapa de la Antártida, en la pantalla de su computadora:
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La mayoría de la gente diría que este mapa es más pequeño que la Antártida.
Pero pregúntele a un matemático cuál tiene la mayoría de los puntos, y él podría decir que el mapa tiene la misma cantidad de puntos que la Antártida, porque está pensando en términos de un mapa ideal, preciso en cada detalle.
Entonces, para un matemático puro, cada punto en el mapa corresponde a un punto en la Antártida.
Es un poco como la forma en que puedes contar a los peatones dibujando trazos en una hoja de papel, cada vez que alguien te pasa. Siempre que ponga un trazo en el papel para cada peatón, eso significa que tiene el mismo número de trazos que tenía los peatones.
De la misma manera, siempre que haya un punto en el mapa correspondiente a cada punto del continente, entonces, al mirarlo de esa manera, debe tener el mismo número de puntos en el mapa que en el continente (o de manera similar en el país o ciudad o lo que sea que tenga un mapa).
Entonces ese es el sentido en el que hay tantos números entre 0 y 1 como son más grandes que 1. Mediante el mapeo simple de x a 1 / x, puede convertir la sección de la línea de 0 a 1 en una especie de estiramiento mapa de la sección de la línea del 1 al infinito.
Bueno, resulta que puedes formalizar esta intuición que tenemos, de que un mapa es más pequeño que un continente, introduciendo reglas, básicamente. Alguna forma de medir el tamaño de las cosas.
Sin embargo, eso no es tan fácil como podría pensar, porque los matemáticos quieren hablar sobre todo tipo de colecciones salvajes de cosas.
Si solo necesitara medir segmentos de línea, estaría bien. Solo mide la longitud de la línea.
Pero, ¿qué hay de, digamos, la colección de todos los decimales de la forma
0.1011011011101….
cualquier secuencia interminable de 0s y 1s, pero esto no está en binario, este es un número decimal.
O si lo prefiere, todos los decimales de la forma
0.232332322323…
secuencia interminable de 2s y 3s, y no se pueden usar otros números.
¿Qué tan grande es ese set? Parece que debería haber menos puntos aquí que los que hay si incluye todo, pero ¿cuánto más pequeño es?
Además, ¿qué pasa con todas las fracciones entre 0 y 1. Puede encontrar una relación arbitrariamente cercana a cualquier punto dado (los matemáticos dicen que las fracciones son “densas”). Entonces, puede pensar intuitivamente, tal vez, que la longitud total de ese conjunto es 1.
Pero luego, mirándolo de otra manera, un punto individual tiene un tamaño 0. Y sumando finitamente muchos ceros, todavía tiene cero.
Luego, resulta que puedes organizar todos los racionales entre 0 y 1 en una secuencia, como esta:
0/1, 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4, 3/4, 1/5, 2/5, 3/5, 4/5, 1/6,…
Entonces, sumando la longitud total de todos estos y obtienes
0 + 0 + 0 + 0 + 0 +…
Y normalmente diría que se suman infinitos ceros para hacer 0.
Entonces, ¿quizás la longitud total para todos los racionales entre 0 y 1 es 0?
Entonces, mientras luchaban por lidiar con estas ideas, a los matemáticos se les ocurrió la “teoría de la medida” que le permite calcular una longitud total para estos conjuntos extraños.
Sorprendentemente, muchos de ellos resultaron tener una longitud total cero según la mayoría de las ideas. No solo los racionales, también todos los números del formulario
0.2323222323…
También tienen cero longitud total.
Eso lleva al conjunto de Cantor, idea similar, pero esta vez en ternario, que es como binario, pero a base 3, por lo que tiene tres dígitos, 0, 1 y 2 en lugar de los dos dígitos habituales 0 y 1.
Si observa todos los números entre 0 y 1 en ternario del formulario
0.02022022002…
expansión ternaria infinita usando solo 0 y 2, luego resulta que es bastante fácil tener una idea de la longitud total de este conjunto.
Puedes mostrarles así:
Ahí tienes una gran brecha en el medio, porque no hay decimales que comiencen
0.1 …
Entonces tienes más huecos en la siguiente fila, porque no hay secuencias que comiencen
0,01 ..
o 0.21 …
Resulta que con cada nueva fila, resta un tercio de lo que queda de la línea.
Entonces la línea de la primera fila es la longitud 1
Segunda fila, la longitud total de todos los segmentos de línea es 2/3
Tercera fila, la longitud total es 4/3.
La fórmula general es 2 ^ n / 3 ^ n
Es fácil ver que eso se vuelve tan pequeño como quieras a medida que n se hace más y más grande. Elija cualquier número, digamos 0.00001, y podemos encontrar una fila que tenga una longitud total menor que eso.
Por lo tanto, los matemáticos lo resumen diciendo que “en el límite” a medida que sigues haciendo eso sin cesar, no te queda nada. El conjunto de Cantor: tiene una longitud de 0.
Entonces, generalizando esta idea y siendo muy cuidadoso en su razonamiento, se le ocurre la idea de la teoría de la Medida
Lo que formaliza la idea intuitiva de que las cosas tienen longitud y que un mapa puede ser más pequeño que un continente, pero al mismo tiempo también permite los conjuntos complejos salvajes que los matemáticos quieren estudiar.
Sin embargo, hay algo un poco extraño en esta “teoría de la medida”. Depende de si acepta el axioma de elección: la idea de que si tiene una colección de infinitos pares de calcetines, puede elegir un solo calcetín de cada uno. Si tiene infinitos pares de zapatos, es fácil elegir un solo zapato de cada par, simplemente elija el zapato izquierdo cada vez (digamos).
Pero si tiene calcetines indistinguibles, entonces no puede hacerlo tan fácilmente, no hay ningún procedimiento matemático que pueda usar para elegir uno de cada uno.
Entonces, los matemáticos a veces agregan el “Axioma de elección” que le permite hacer eso. Parece un axioma inocuo. Pero conduce a paradojas en la teoría de la medida: conduce a conjuntos que no se pueden medir.
Por ejemplo, obtienes el teorema de Banach Tarski. Con el axioma de elección, puede demostrar que puede separar una esfera en muchas piezas finas y juntarlas para formar dos esferas idénticas.
Estas son piezas “rígidas”, pero un poco extrañas, ya que pueden incluir colecciones de puntos extendidos, pero que puedes mover sin cambiar su posición relativa.
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Entonces, la teoría de la medida es un poco misteriosa. Esto no es realmente una paradoja lógica. No conduce a una contradicción como tal. Pero es una paradoja en la teoría de la medida, si espera que todo sea medible; esto demuestra que si asume el axioma de elección, entonces no puede hacerlo.
Obviamente, no puede haber ninguna forma de adjuntar una medida consistente a todos los conjuntos en el espacio 3D, si es posible hacer una descomposición de una esfera como esta.
Entonces, o abandonas el axioma de elección, o abandonas la idea de que puedes medir todo. Los matemáticos realmente preferirían poder mantener ambas ideas, para poder medir todos los conjuntos en un espacio medible como el espacio 3D, y poder elegir uno de cada uno de infinitos pares de calcetines indistinguibles, pero no se puede.