¿Cuál es el significado de las formas modulares simuladas?

Answer 1

Mientras estaba en su lecho de muerte, el brillante matemático indio Srinivasa Ramanujan escribió crípticamente las funciones que dijo que le venían en sueños, con la corazonada de cómo se comportaban. Lo hizo dando una serie de ejemplos e identificando algunas de sus propiedades más importantes. Ahora, 100 años después, los investigadores dicen que han demostrado que tenía razón.

Estas misteriosas funciones imitan las funciones theta, o formas modulares. Al igual que las funciones trigonométricas como el seno y el coseno, las funciones theta tienen un patrón repetitivo, pero el patrón es mucho más complejo y sutil que una simple curva sinusoidal. Las funciones theta también son “súper simétricas”, lo que significa que si un tipo específico de función matemática llamada transformación de Moebius se aplica a las funciones, se convierten en sí mismas. Debido a que son tan simétricas, estas funciones theta son útiles en muchos tipos de matemáticas y física, incluida la teoría de cuerdas.

Ramanujan creía que 17 nuevas funciones que descubrió eran “formas modulares simuladas” que parecían funciones theta cuando se escribían como una suma infinita (sus coeficientes aumentan de la misma manera). Ken Ono y su equipo demostraron que estas funciones imitaban formas modulares.

Answer 2

Llegué a conocer ciertos aspectos físicos de las formas modulares simuladas a través de un taller internacional realizado en IMSc (Chennai, INDIA) en abril de 2014.

[1] Mathieu moonshine relaciona la geometría de las superficies K3 con las representaciones del grupo Mathieu M24, y con una determinada forma modular simulada. Esto puede ser generalizado por la luz de la luna de Umbral, a una secuencia correspondiente de grupos finitos, y a las 23 redes de Niemeier.

[2] Existe una buena conexión entre los fenómenos de cruce de muros en la teoría de cuerdas y la teoría de calibre supersimétrico, y la realización de simetrías modulares o automórficas en los sistemas correspondientes. Por ejemplo, en N = 4 compactaciones de cuerdas, se ha demostrado que las degeneraciones de agujeros negros supersimétricos son coeficientes de Fourier de formas modulares simuladas.

[3] Estas formas modulares simuladas se interpretan como las funciones de partición supersimétricas de ciertas teorías de campo superconformales no compactas. Tales CFT son importantes en la física de los agujeros negros y las cadenas negras, y parecen ser muy importantes para los aspectos mencionados anteriormente.

Existe una creencia general entre los científicos de que estas estructuras subyacentes, tal vez originadas en la teoría de la picadura, podrían unificar estos enfoques completamente ortogonales y deberían tener implicaciones para la teoría de la representación, la teoría de números, la geometría, la teoría de calibres y la teoría de la picadura.

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