¿Cuál es el significado del problema del número congruente?

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Esta pregunta está un poco fuera de mi área de investigación, pero creo que puedo intentar responderla. Trataré de mantener un estilo de discurso básico.

DESCARGO DE RESPONSABILIDAD: Si bien soy un teórico de números, también admitiré libremente que no había escuchado sobre este problema hasta que vi esta pregunta. Wikipedia tiene un pequeño artículo al respecto, pero hace referencia a objetos de los que pocos no matemáticos habrían oído hablar; con suerte, puedo ser útil en ese sentido.

Primero, permítanme definir un triple pitagórico . Este es un triple de tres números racionales (a, b, c) que son las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo. O, para decirlo de otra manera, a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2.
El punto clave para el triple pitagórico es que los tres números tienen que ser racionales . Algunos ejemplos: (3,4,5), (3/5, 4/5, 1), (5, 12, 13).

¿Por qué es importante la racionalidad? a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2 es una de las muchas fórmulas que son muy fáciles de resolver si permite que las variables sean reales, pero se vuelven mucho más difíciles si requiere que sean racionales o enteros; sin embargo, en el en el mundo real, sabemos que hay muchas ocasiones en que las cantidades que nos interesan no son irracionales [cita requerida] . El estudio de las ecuaciones diofantinas (ecuaciones polinómicas cuyas soluciones se ven obligadas a ser enteros) se remonta a la antigüedad, aunque solo recientemente (es decir, el siglo XX) hemos logrado ponerlas en el contexto más amplio de la geometría algebraica (más o menos: El estudio de la geometría con la ayuda de álgebra). Probablemente haya oído hablar de un problema que se resolvió al considerarlo en este marco: el último teorema de Fermat, que afirmó que x ^ n + y ^ n = z ^ n tiene soluciones no triviales sobre los enteros solo si n <3.

La congruencia es una noción relacionada. Un número entero n es congruente si es el área de un triángulo rectángulo cuyos lados tienen una longitud racional. O, de nuevo, para decirlo de otra manera, hay un triple pitagórico (a, b, c) tal que ab / 2 = n. Entonces, por ejemplo, 6 y 30 son números congruentes.

¿Son todos los enteros congruentes? No. En ese caso, ¿cuáles son congruentes? Este es el problema del número congruente , y actualmente no está resuelto.

¿Por qué le importa a alguien? Bueno, básicamente hay tres razones:
1. Se relaciona con áreas antiguas de las matemáticas (el estudio de los triples pitagóricos y sus propiedades, un área aún investigada, en realidad), por lo que es una continuación natural de lo que ya se ha hecho.

2. Es muy fácil verificar que un número en particular sea congruente, por lo que podemos producir muchos ejemplos. Los matemáticos, al igual que todos los demás, generalmente les gusta tener una idea concreta de lo que está sucediendo antes de tratar de descubrir el caso general (que podría ser más útil). (Existen excepciones: ver Grothendieck).

3. Quizás la razón más importante es que este problema está relacionado con un campo de investigación muy activo: el de las curvas elípticas.

Esencialmente, una curva elíptica es un conjunto de soluciones (x, y) tal que y ^ 2 = x ^ 2 + ax + b. Las curvas elípticas se entienden muy bien si permitimos que (x, y) sean números complejos o números reales. Aquí hay algunos ejemplos (prestados alegremente de Wikipedia):
Más interesante es el caso en el que (x, y) se ven obligados a ser números racionales (también hay otras posibilidades, pero no voy a discutirlas aquí). Las curvas elípticas están justo en el borde de lo que no entendemos bien, pero parece estar casi a nuestro alcance. La teoría es muy rica, pero no está del todo completa (ver, por ejemplo, el famoso
Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer), y la mejor parte es que está relacionada con muchas, muchas otras áreas de geometría y teoría de números.

Si supiéramos que la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer es verdadera, inmediatamente tendríamos una resolución para el problema del número congruente (sé que estoy haciendo trampa un poco al no explicar cuál es la conexión, pero es algo matemáticamente técnico y fuera de mi área de especialización. Para aquellos interesados, recomiendo esta discusión de Keith Conrad: Página en uconn.edu).

Todo esto se suma a algo que es bastante emocionante para un matemático: tiene un problema que es muy antiguo (Fermat ya demostró un resultado al respecto, pero probablemente se remonta mucho más tarde que eso [cita requerida] ), que está relacionado a un montón de otras cosas que se han resuelto o que estamos tratando de resolver, y parece que no estamos muy lejos de una solución.

Por supuesto, tal vez solo logré responder por qué es importante para un matemático. Tal vez no eres matemático y no tienes paciencia o aprecio por sus tontos juegos abstractos. Quieres resultados , dang. Desea saber qué obtiene por sus dólares de impuestos.

Eso no es irrazonable. Esa es una discusión que todo matemático tiene que tener de manera bastante regular (las subvenciones no son gratuitas). El problema es que a menudo no sabemos cómo algo será útil hasta que hayamos trabajado en ello. De hecho, se pensaba que la teoría de números era completamente inútil (Cita: Google “teoría de números inútil”) para la aplicación práctica, hasta que descubrimos su importancia en la criptografía. Uno de los enfoques para el cifrado de clave pública se basa en curvas elípticas. Por lo tanto, no es descabellado sugerir que comprender el problema de los números congruentes y los fenómenos relacionados algún día nos proporcionará nuevas técnicas sobre cómo codificamos y transmitimos los datos. O, tal vez, encontrará alguna aplicación completamente fuera de todo lo que hubiéramos pensado o considerado hoy. Esta es generalmente la forma en que funciona la matemática pura: la teoría es lo primero, y las aplicaciones siguen inevitablemente, aunque a menudo no de manera muy obvia.