¿Se puede derivar una expresión general para calcular [matemáticas] n ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] raíz de [matemáticas] i [/ matemáticas] (la raíz cuadrada de [matemáticas] -1 [/ matemáticas])?

Answer 1

Sí, usando la fórmula de Euler: [matemáticas] e ^ {i \ theta} = \ cos \ theta + i \ sin \ theta [/ matemáticas].

De esto, vemos que [matemáticas] e ^ {i \ pi / 2} = i [/ matemáticas], entonces

[matemáticas] i ^ {1 / n} = e ^ {i \ pi / 2n} = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2n} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {\ pi } {2n} \ right) [/ math].

Sin embargo, esta es solo una de las raíces [matemáticas] n ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] de [matemáticas] i [/ matemáticas] (así como [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es solo una de las raíces cuadradas de [matemáticas] 1 [/ matemáticas], y [matemáticas] -1 [/ matemáticas] es la otra). Entonces, ¿cómo encontramos todas las raíces?

Recuerde, comenzamos con [matemáticas] e ^ {i \ pi / 2} = i [/ matemáticas]. Pero esto se puede generalizar a:

[matemáticas] e ^ {i (\ pi / 2 + 2k \ pi)} = i, \ k = 0, 1, \ ldots [/ matemáticas] (porque [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] es el período de las funciones seno y coseno).

Así:

[matemáticas] i ^ {1 / n} = e ^ {i (\ pi / 2 + 2k \ pi) / n} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {2n} + \ dfrac {2k \ pi} {n} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {2n} + \ dfrac {2k \ pi} {n} \ right) [/ math]

[matemáticas] = \ cos \ left (\ dfrac {(4k + 1) \ pi} {2n} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {(4k + 1) \ pi} {2n} \ right) [/matemáticas]
[matemáticas] k = 0, 1, \ ldots [/ matemáticas]

donde cada valor de [math] k [/ math] te da una raíz. Pero si observa esto con más cuidado, verá que los valores se repiten después de [math] k = n – 1 [/ math]. Por lo tanto, podemos obtener las [matemáticas] n [/ matemáticas] distintas [matemáticas] n ^ {\ text {th}} [/ matemáticas] raíces de [matemáticas] i [/ matemáticas] usando la fórmula:

[matemáticas] i ^ {1 / n} = \ cos \ left (\ dfrac {(4k + 1) \ pi} {2n} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {(4k + 1) \ pi } {2n} \ right) [/ math]
[matemáticas] k = 0, 1, \ ldots, n – 1 [/ matemáticas]

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Ejemplo

Las raíces cuadradas de [matemáticas] i [/ matemáticas] son:

[matemáticas] \ sqrt i = \ cos \ left (\ dfrac {(4k + 1) \ pi} {2n} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {(4k + 1) \ pi} {2n} \ right) [/ math]
[matemáticas] k = 0, 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ sqrt i = \ cos \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {\ pi} {4} \ right) [/ math]
y
[matemáticas] \ cos \ left (\ dfrac {5 \ pi} {4} \ right) + i \ sin \ left (\ dfrac {5 \ pi} {4} \ right) [/ math]

Así:

[matemáticas] \ sqrt i = \ pm \ left (\ dfrac {1 + i} {\ sqrt 2} \ right) [/ math]