Cómo evaluar la suma [matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ frac {[\ log (2n + 1)] ^ 2} {2n + 1} [/ matemáticas]

Answer 1

La suma no alterna no converge y no sé cómo sumarla simbólicamente. Puede haber una manera de convertirlo en una integral continua, pero los diversos cambios de variable que probé no produjeron una forma más manejable. Con las técnicas estándar puede tener una evaluación numérica y la mayoría de los softwares matemáticos generalistas (Mathematica, Sage, …) saben cómo hacerlo. Los primeros dígitos parecen ser:

-0,1541417 …

Ahora, si uno generaliza un poco su fórmula para

[matemáticas] \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} \ frac {[\ log (2n + 1)] ^ s} {2n + 1} [/ matemáticas]

o equivalente (editado el 08/08/2014)

[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ frac {[\ log (4k + 1)] ^ s} {4k + 1} – \ frac {[\ log (4k + 3)] ^ s } {4k + 3} [/ matemáticas]

Uno observa que su suma

tiene una discontinuidad en s = 0, tiende a 0.214 … cuando s va a 0 por valores mayores, puede ser 0 para s alrededor de 4.1537 …, alcanza un máximo alrededor de s = 7.2168 …, es difícil de calcular después de 8.5 y probablemente diverge para los valores de s> = 9.

Sería bueno tener fórmulas cerradas para estos puntos remarcables
pero no pude obtener uno para ninguno de ellos.

Answer 2

Creo que es (Log3) ^ 2/9 – (Log5) ^ 2/25, si no cometí un error de cálculo:
si tomamos los términos de esta serie S como los valores de una función primitiva (log (x)) ^ 2 / x tomada en los puntos 3,5,7, etc., entonces la serie es igual a la suma de la Diferencia (( log (x)) ^ 2 / x) entre los puntos (5,3), luego Dif (7,9) luego Dif (11,13) etc. al infinito. Este es un corte o corte vertical infinito parcial de la curva integral completa de 3 a infinito de la derivada (-2log (x) / x ^ 2 + log (x) ^ 2 / x ^ 2), llamémosla f (x ), obtenida sumando el área de una columna de 2, de las extremidades 2 números impares consecutivos, precisamente los descritos anteriormente, procediendo así hasta el infinito. El valor completo de la integral I, que no toma una columna de 2, es la diferencia de los valores de la primitiva entre infinito y 3, por lo que es: [0 – log (3) ^ 2/3] (negativo debido a la forma alrededor de 3). Pero este es solo el valor del área completa, S + S ‘, mientras que el valor que buscamos es S, la suma del área parcial de las áreas de las columnas alternativas: col (3,5) + col (7,9) + col (11,13) + hasta el infinito.
Pero si consideramos f (x + y), entonces S ‘es la integral de f (3 + y) desde y = 2 hasta el infinito, entonces el valor si no estoy equivocado es – (log5) ^ 2/25, De ahí el resultado.

Answer 3

Wolfram dice que no puedes? a menos que haya leído mal su sintaxis de alguna manera … sum (-1 ^ n) * (log (2n + 1) ^ 2) / (2n + 1)), n = 1 al infinito