El Frobenius Coin Exchange Problem (FP) se remonta a JJ Sylvester a mediados de la década de 1880.
Deje que [math] {\ mathbb N} _0 [/ math] denote el conjunto de enteros no negativos: [math] {\ mathbb N} _0 = {\ mathbb N} \ cup \ {0 \} [/ math].
Dado un conjunto [matemático] A = \ {a_1, \ ldots, a_k \} [/ math] de enteros positivos con [math] \ gcd A = \ gcd (a_1, \ ldots, a_k) = 1 [/ math], dejar
[matemáticas] {\ Gamma} (A) = \ {a_1 x_1 + \ cdots + a_k x_k: x_i \ in {\ mathbb N} _0 \}. [/ math]
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Entonces no es difícil ver que
[matemáticas] {\ Gamma} ^ c (A) = {\ mathbb N} \ setminus {\ Gamma} (A) [/ matemáticas]
Siempre es un conjunto finito.
El FP es determinar el número de Frobenius
[matemáticas] g (A) = \ max {\ Gamma} ^ c (A) [/ matemáticas]
para cualquier conjunto [math] A [/ math] de enteros positivos con [math] \ gcd A = 1 [/ math].
La investigación sobre PF puede clasificarse ampliamente en dos direcciones:
- encontrar una expresión para determinar [matemáticas] g (A) [/ matemáticas]
- proporcionar algoritmos para ayudar a determinar [matemáticas] g (A) [/ matemáticas]
Solo responderé el primer aspecto, y brevemente.
Los resultados exactos o la fórmula para [matemática] g (A) [/ matemática] en forma cerrada, son raros. En lo que sigue, asumiremos siempre que [math] \ gcd A = 1 [/ math].
- [matemáticas] g (a_1, a_2) = a_1 a_2 – a_1 – a_2 [/ matemáticas]
Hay un resultado reciente que da una expresión de forma cerrada para [math] g (a_1, a_2, a_3) [/ math], pero esto es bastante complicado. Posiblemente, el método más conocido para calcular [matemáticas] g (a_1, a_2, a_3) [/ matemáticas] es a través de una expansión de fracción continua que se remonta a la década de 1970, pero ese método no puede emplearse fácilmente para obtener una expresión de forma cerrada para computación [matemática] g (a_1, a_2, a_3) [/ matemática]. Hay varios otros resultados para el caso de tres variables, incluido un límite inferior (probablemente hace unos 10 años) y resultados exactos en algunos casos especiales, como cuando [matemáticas] a_1 \ mid (a_2 + a_3) [/ matemáticas] (de la década de 1960) o cuando [matemáticas] a_1 \ mid [/ matemáticas] mcm [matemáticas] [a_2, a_3] [/ matemáticas] (descubierto recientemente).
Los resultados para [matemática] g (A) [/ matemática] en más de tres variables son aún más raros, como es de esperar. El límite superior general más conocido es el resultado de la década de 1970. Sin embargo, los resultados exactos para [math] g (A) [/ math] existen en algunos casos especiales, cuando los elementos de [math] A [/ math] forman un patrón especial, por ejemplo, progresión aritmética o progresión geométrica; el primero se remonta a la década de 1950, mientras que el último a hace aproximadamente una década.
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Otro aspecto del FP es determinar el número de Sylvester
[matemáticas] n (A) = | {\ Gamma} ^ c (A) | [/ math]
para cualquier conjunto [math] A [/ math] de enteros positivos con [math] \ gcd A = 1 [/ math].
Hay una historia casi paralela al problema de determinar [matemáticas] n (A) [/ matemáticas], aunque con mucho menos éxito. Por ejemplo, se sabe que
[matemáticas] n (a_1, a_2) = \ frac {1} {2} (a_1–1) (a_2–1) = \ frac {1} {2} (1 + g (a_1, a_2)) [/ matemáticas ],
y más generalmente que
[matemáticas] n (A) \ le \ frac {1} {2} (1 + g (A)) [/ matemáticas]
para cualquier conjunto [math] A [/ math] de enteros positivos con [math] \ gcd A = 1 [/ math].
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El libro, aunque ahora tiene poco más de 10 años,
- JL Ramirez Alfonsin, The Diophantine Frobenius Problem, Oxford Lecture Series in Mathematics and its Applications, No. 30, Oxford University Press, 2005
proporciona una extensa literatura sobre FP y problemas relacionados.
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Si es necesario, o si hay consultas que puedo responder, agregaré a esto.