Cómo encontrar la forma cerrada de la suma [matemática] \ sum_ {k = 0} ^ {\ infty} \ dbinom {n} {k} \ text {min} (k, nk) [/ math] cuando entero [math ] n \ geq0 [/ math]

Answer 1

Tenga en cuenta que esto es equivalente a [math] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} \ min (k, nk) [/ math] ya que [math] \ binom {n} {k} [/ math] es 0 para [math] k> n [/ math] (gracias Seddiki Anass por señalar esto).

Antes de sumergirnos, 3 fórmulas importantes rápidas:

1. [matemáticas] \ binom {n} {k} = \ binom {n} {nk} [/ matemáticas].
2. [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} = 2 ^ n [/ matemáticas]
3. [matemáticas] \ binom {n} {k} k = n \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]
   (¡ya que [matemáticas] \ frac {n!} {(nk)! k!} k = n \ frac {(n-1)!} {((n-1) – (k-1))! (k- 1)!} [/ Matemáticas])

Ahora dividimos esto en dos casos: cuando n es par y cuando n es impar.

1) Entonces, si [math] n [/ math] es impar, esta suma es equivalente a
[matemáticas] 2 \ sum_ {k = 0} ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} \ binom {n} {k} k [/ math] (tenga en cuenta que el término k = 0 es 0)
[matemáticas] = 2 \ sum_ {k = 1} ^ {(n-1) / 2} n \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = 2 n \ sum_ {k = 0} ^ {(n-3) / 2} \ binom {n-1} {k} [/ matemáticas]

Ahora usando eso [matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ n \ binom {n} {k} = 2 ^ n [/ matemáticas] (y que [matemáticas] \ binom {n} {k} = \ binom {n } {nk} [/ math]), esto da que nuestra expresión es igual a

[matemáticas] = 2 n (\ frac {1} {2} \ cdot 2 ^ {n-1} – \ frac {1} {2} \ binom {n-1} {(n-1) / 2}) [/matemáticas]
[matemáticas] = n 2 ^ {n-1} – n \ binom {n-1} {(n-1) / 2} [/ matemáticas]

2) Cuando [math] n [/ math] es par, la suma se convierte en
[matemáticas] = \ binom {n} {n / 2} n / 2 + 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n / 2-1} \ binom {n} {k} k [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {n} {n / 2} n / 2 + [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ sum_ {k = 1} ^ {n / 2-1} n \ binom {n-1} {k-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {n} {n / 2} n / 2 + 2 n \ sum_ {k = 0} ^ {n / 2-2} \ binom {n-1} {k} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ binom {n} {n / 2} n / 2 + 2 n \ cdot (1/2 (2 ^ {n-1}) – \ binom {n-1} {n / 2-1} )[/matemáticas]
[matemáticas] = n 2 ^ {n-1} + \ binom {n} {n / 2} n / 2 – 2n \ binom {n-1} {n / 2-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n 2 ^ {n-1} + n \ binom {n-1} {n / 2-1} -2n \ binom {n-1} {n / 2-1} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n 2 ^ {n-1} – n \ binom {n-1} {n / 2-1} [/ matemáticas]

Poniendo esto juntos, podemos escribir 1 fórmula para ambos casos:
[matemáticas] n 2 ^ {n-1} – n \ binom {n-1} {\ lfloor (n-1) / 2 \ rfloor} [/ math]

Answer 2

de hecho … su suma va ‘hasta n solo porque [matemática] \ begin {pmatrix} n \\ k \ end {pmatrix} [/ math] no existe si k> n.