¿Existe una función analítica compleja cuyos ceros son los primos gaussianos?

Answer 1

La respuesta de Ricky Kwok es claramente errónea porque el producto infinito no converge.
Pero la idea básica es correcta. Uno necesita escalarlo para que converja.
Lo primero que debes hacer es escribir
[matemáticas] \ Pi_ {w \ en D} (1 – \ frac {z} {w}) [/ matemáticas]
que posiblemente converja, esto depende de la densidad de los primos gaussianos. El problema es que si tomamos el logaritmo, vemos un término molesto [matemáticas] – \ sum \ frac {1} {w} [/ matemáticas] que podría divergir, no sé lo suficiente sobre la densidad de los números primos gaussianos para estar seguros .
La solución es escribir la función analítica
[matemáticas] \ Pi_ {w \ en D} (1 – \ frac {z} {w}) e ^ {z / w} [/ matemáticas]
que tiene una singularidad de término de orden inferior: [matemáticas] – \ frac {1} {2} \ sum \ frac {1} {w ^ 2} [/ matemáticas] que pueden converger nuevamente. Entonces necesitamos agregar un término más y escribir
[matemáticas] \ Pi_ {w \ en D} (1 – \ frac {z} {w}) e ^ {z / w + (z / w) ^ 2 (1/2)} [/ matemáticas]
que tiene singularidades cúbicas y, por lo tanto, convergerá incluso si los primos gaussianos cubren todos los enteros gaussianos.

Answer 2

Deje [matemáticas] D = \ {\ mbox {primos gaussianos} \}. [/ math] Entonces la función
[matemáticas] f (z) = \ prod_ {w \ en D} (zw) [/ matemáticas]
es cero cuando la entrada es un primo gaussiano.