La teoría de números estudia números enteros, es decir, números enteros y sus relaciones. Los conceptos principales incluyen números cuadrados y potencias superiores de números, números primos, divisibilidad de números y divisores comunes más grandes. Muchas de las preguntas en teoría de números tienen que ver con ecuaciones.
Como las ecuaciones que involucran números enteros pueden ser interconvertidas con ecuaciones que involucran números racionales (cocientes de enteros), la teoría de números también trata con números racionales.
Algunas de las preguntas en teoría de números derivan de la geometría. Un ejemplo de esto es la clasificación de triples pitagóricos, enteros a, byc, de modo que [matemática] a ^ 2 + b ^ 2 = c ^ 2. [/ Matemática] Describen triángulos rectángulos con lados integrales. Quizás esta clasificación fue la primera pregunta en teoría de números, aparentemente respondida más de mil años antes de Pitágoras.
Una de las primeras herramientas para estudiar la teoría de números es lo que se llama el algoritmo euclidiano. No se debe a Euclides, pero lo mencionó en sus Elementos. También se conocía en la antigua China y la India, y se utilizó en el Teorema del resto chino (que también se conocía en la India pero no en los antiguos griegos). Está estrechamente relacionado con las fracciones continuas.
- ¿Existe una función analítica compleja cuyos ceros son los primos gaussianos?
- Si A y B son dos eventos dependientes de modo que la aparición de B es necesaria para la aparición de A, entonces idealmente P (A) = P (A | B). En este caso, la probabilidad implica probabilidad condicional que va por lógica. Pero, ¿por qué este no es el caso?
- ¿Cómo podemos contar el número de triángulos no degenerados con coordenadas enteras en un rectángulo awxh?
- ¿Cómo se puede probar esta propiedad factorial aparentemente fundamental que resulta de permutaciones básicas?
- ¿La reciprocidad cuadrática se siente intuitiva con la experiencia?
La búsqueda de soluciones en enteros para ecuaciones no se limita a ecuaciones lineales simples (que requieren el algoritmo euclidiano), sino también a ecuaciones cuadráticas, ecuaciones de mayor grado y ecuaciones simultáneas. Muchas personas a lo largo de los siglos han trabajado en sus soluciones. Euler, en el siglo XVIII, desarrolló el concepto de congruencia de números módulo n, y ese concepto ahora se usa en toda la teoría de números. Las ecuaciones cuadráticas son muy interesantes. Ver especialmente la ecuación de Pell, la reciprocidad cuadrática y las formas cuadráticas.
El análisis, que es la parte de las matemáticas relacionadas con los conceptos de diferenciación, integración y series infinitas, puede usarse para responder preguntas en la teoría de números. La rama de la teoría de números que usa análisis se llama teoría analítica de números. Esa es la teoría de números avanzada mucho en los últimos doscientos años.
La teoría algebraica de números utiliza conceptos de álgebra moderna, como campos numéricos, grupos, anillos y teoría de Galois.
Una cosa podría ser que con una materia tan antigua en matemáticas con una rica historia que abarca cuatro mil años, no queda nada por hacer. Ese no es el caso. Fue uno de los campos matemáticos más activos en el siglo XX, y parece que volverá a serlo en el siglo XXI.