Este cálculo de Ignacio Larrosa Cañestro da
[matemáticas] \ frac {(w ^ 3 – w) (h ^ 3 – h)} {6} – {} [/ matemáticas]
[matemáticas] 2 \ sum_ {k = 2} ^ h \ sum_ {j = 2} ^ w [/ matemáticas] [matemáticas] (w – j + 1) (h – k + 1) \ gcd \ {k – 1 , j – 1 \} [/ matemáticas].
De: “Ignacio Larrosa Cañestro”
Asunto: RE: Tablero de damas.
Fecha: dom, 22 de octubre de 2000 18:48:25 +0200
Grupos de noticias: sci.math
Resumen: [falta]Para una cuadrícula de 4 * 4, los cálculos son fáciles:
- ¿Cómo se puede probar esta propiedad factorial aparentemente fundamental que resulta de permutaciones básicas?
- ¿La reciprocidad cuadrática se siente intuitiva con la experiencia?
- ¿Qué es una explicación intuitiva para la ‘clase de congruencia’?
- Cómo resolver ecuaciones con variables que son números naturales
- ¿Cuál es el mejor algoritmo para encontrar el siguiente palíndromo más pequeño de un número dado?
Peine (16, 9) = 560 tríadas de puntos
Hay 10 líneas rectas con cuatro puntos: 4 verticales, 4
horizontales y 2 diagonales principales. Hay ara 3 tríadas (es decir, peine (4, 3)) de
puntos en cada uno de ellos -> 40Además, las cuatro diagonales (2 de las que se indican a continuación) cierran el
Las diagonales también contienen 3 puntos.Luego, hay 44 triadas de puntos colineales, y el número de triángulos
es 560 – 44 = 516* * * * / / * * * * / / * * * * / / * * * *En general, sea B (m, n) el número de triángulos en una cuadrícula de m * n puntos.
Sea C (j, k) el número de triángulos en una cuadrícula de j * k puntos que no pueden ser
poner en una cuadrícula de j ‘* k’ puntos si j ‘<j o k' <k.Entonces,
B (m, n) = Suma (Suma ((m-j + 1) (n-k + 1) C (j, k), j, 2, m), k, 2, n)
porque en una cuadrícula de m * n puntos podemos poner una cuadrícula de j * k puntos de
(m-j + 1) (n-k + 1) formas; sin gires, la cuadrícula aj * k conectada 90º es una cuadrícula ak * j.Bueno, C (j, k) tiene tres componentes:
i) Triángulos con dos vértices en los extremos de una diagonal. El tercero
Vertix puede ser cualquiera que no esté en diagonal. Hay ara entonces 2 (j * k – mcd (j-1,
k-1) -1), porque hay dos diagonales y hay ara gcd (k-1, j-1) + 1
puntos en cada uno de entonces.ii) Triángulos con dos vértices en los extremos de un lado. El tercer vértice
Puede ser cualquiera dentro (sin extremos) del lado opuesto. Hay 2 ((j-2) +
(k-2)).iii) Triángulos con un vértice en un vértice P de la cuadrícula y los otros dos
vértices dentro de los lados no concurrentes con P. Hay 4 (j-2) (k-2).Ponemos todo junto y con algo de trabajo algebraico, obtenemos
B (m, n) = (m ^ 3-m) (n ^ 3-n) / 6 – 2 · Suma (Suma ((m-j + 1) (n-k + 1) · mcd (k-1 , j-1),
j, 2, m), k, 2, n)