¿La reciprocidad cuadrática se siente intuitiva con la experiencia?

Answer 1

Esa es una muy buena pregunta. No estoy seguro de poder responderlo, pero intentaré ofrecer algunas formas de pensar sobre esto.

Creo personalmente que la forma en que se emite y se enseña el QR a menudo es algo engañoso. Su propio nombre, “reciprocidad”, llama la atención sobre el papel simétrico desempeñado por los dos números primos. Pero en mi opinión, ese papel simétrico es casi una coincidencia y, en cierto sentido, es secundario a la importancia real del teorema.

Considere este problema: solucione algunos [matemáticos] p [/ matemáticos]. ¿Para qué primos [matemática] x [/ matemática] es el caso de que nuestra [matemática] p [/ matemática] sea un módulo de residuo cuadrático [matemática] x [/ matemática]? El conjunto de todos esos [math] x [/ math] es algún subconjunto del conjunto de todos los números primos, y la idea clave de QR es que este subconjunto está definido por ciertas congruencias lineales .

No es del todo obvio por qué este debería ser el caso, y QR nos dice que sí. Va aún más lejos y nos dice cuáles son esas congruencias, pero como dije, esto puede verse como una capa secundaria además de la visión fundamental, que es que el conjunto de números primos que estamos viendo es esencialmente un montón de progresiones aritméticas. .

Una forma de entender las cosas de manera más intuitiva es encajarlas en un contexto más amplio, generalizarlas. En este caso, podemos transformar la pregunta en la siguiente forma: ¿qué primos [matemática] x [/ matemática] se dividen en el campo de número cuadrático generado por el polinomio [matemático] X ^ 2-p [/ matemático]? Esto ahora se generaliza con bastante facilidad: ¿qué campos numéricos son tales que los primos que se dividen en ellos son una unión de progresiones aritméticas?

La hermosa respuesta es que esto es cierto precisamente para las extensiones abelianas. Entonces, la “causa raíz” de QR, al menos la “causa raíz” de la primera capa, es que los polinomios cuadráticos generan extensiones abelianas, por la sencilla razón de que los grupos de orden dos son, por supuesto, conmutativos.

Ahora, comprender por qué las extensiones abelianas son las que hacen que solo se dividan los números primos en algunas progresiones aritméticas, esto es más o menos equivalente a comprender la teoría de campo de clase. Si lo hace, sin duda mejorará su comprensión de QR, aunque es difícil afirmar que esto también proporciona una razón transparente e intuitiva por la cual es cierto.

Answer 2

Bueno no.

Como mencionó Amit, es generalizable. La teoría de campo de clase le da contexto. Sin embargo, CFT es muy difícil de aprender, y las pruebas allí no son intuitivas. A su vez, CFT es una pequeña parte del Programa Langlands, posiblemente la teoría matemática más sofisticada jamás inventada. El Programa Langlands sugiere una forma de generalizar CFT, pero es más una filosofía de cómo generalizarlo que una teoría sólida real con pruebas reales. Se probó una pequeña parte del Programa Langlands, que no es CFT, y se llama conjetura de Taniyama-Shimura. Esto fue utilizado en la prueba del último teorema de Fermat.

La conclusión es esta: la reciprocidad cuadrática es la punta de un enorme iceberg. El sentido general en la comunidad matemática es que si bien parece que sabemos cómo queremos expresar los fenómenos que generalizan la reciprocidad cuadrática, no tenemos idea de por qué parece seguir ese patrón. CFT parece un milagro, y también Taniyama-Shimura. Y el Programa general de Langlands está fuera de alcance. Entonces, en ese sentido, no se vuelve intuitivo …

Answer 3

Si juegas mucho con períodos de primos en varias bases, entonces se siente intuitivo. Lo que obtienes es el índice reducido (es decir, (p-1) / período), y la paridad del índice es par o impar de acuerdo con el cosquare de la base.

Para las bases de la forma 10x ^ 2, por ejemplo, 10, 40, 90, & c, el patrón es superior a 40, da

1, 3, 9, 13, 27, 31, 37 y 39 tienen un índice par
7, 11, 17, 19, 21, 23, 29, 33 tienen un índice impar

Como 10 = 5 * 2, puedes dividirlos en cuatro conjuntos

1, 9, 31, 39 incluso en 1, 2, 5, 10
3, 13, 27, 31 pares en 1, 10 impares en 2, 5
7, 17, 23, 33 pares en 1, 2 impares en 5, 10
11, 19, 21, 29 pares en 1, 5, impares en 2, 10

Es posible filtrar un filtro genérico 2-5, por ejemplo

1, 7 son pares, 3, 5 son impares módulo 8 (en relación con 2)
1, 4 son pares, 2, 3 son impares módulo 5 (en relación con 5)

Puedes ver que 19 (3 ​​mod 8, 4 mod 7) es o, e para 2,5.

Uno puede resolver otros números primos, como 3 y 7, pero estos se leen como negativos, y uno usa también -1, por lo que

1, es par 3, es impar, módulo 4 en relación con -1
1, es par, 2 es impar módulo 3 en relación con -3
1, 2, 4 son pares, 3, 5, 6 son impares, módulo 7, en relación con -7.

Para una base como 14, = -1 * 2 * -7, se encuentra que 19 da o + o + o = o (índice impar)

Para una base como 21 = -3 * -7 se encuentra 19 da e + o = o.

Los índices pares son las terminaciones de cuadrados en el primo (excepto 2).