Cómo evaluar la integral [matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} dx [/ matemáticas]

Answer 1

Como lo muestra Alan Mao en su respuesta, un procedimiento estándar para evaluar la integral gaussiana es utilizar el concepto de cálculo multivariable, es decir, la integral doble, seguida de la transformación de la coordenada cartesiana en coordenada polar. Como respuesta alternativa, propondré otro método, a saber, la diferenciación bajo signo integral (método de Feynman).

Como el integrando es una función par, podemos reescribirlo como

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx = 2 \ int_ {0} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx [/ math]

Ahora, consideremos

[matemáticas] I (\ alpha) = \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- x ^ 2}} {1+ \ left (\ frac {x} {\ alpha} \ right) ^ 2} \, dx = \ int_0 ^ \ infty \ frac {\ alpha e ^ {- \ alpha ^ 2 y ^ 2}} {1 + y ^ 2} \, dy [/ math]

así que eso

[matemáticas] I ‘(\ alpha) = \ frac {\ partial I} {\ partial \ alpha} = \ int_0 ^ \ infty \ frac {e ^ {- \ alpha ^ 2 y ^ 2} -2 \ alpha ^ 2 y ^ 2 e ^ {- \ alpha ^ 2 y ^ 2}} {1 + y ^ 2} \, dy [/ math]

Es fácil ver que [matemáticas] I (0) = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] I ‘(0) = \ frac {\ pi} {2} [/ matemáticas]. La integral que queremos evaluar es [math] \ lim _ {\ alpha \ to \ infty} I (\ alpha) [/ math]. En aras de la simplicidad, deje que [math] \ lim _ {\ alpha \ to \ infty} I (\ alpha) = I (\ infty) [/ math].

Dado que [math] I ‘(\ alpha) [/ math] parece espeluznante , es conveniente multiplicarlo primero por un cierto factor en lugar de diferenciarlo directamente para salvarnos de problemas, es decir

[matemáticas] \ frac {\ partial} {\ partial \ alpha} \ left [\ frac {e ^ {- \ alpha ^ 2}} {\ alpha} I (\ alpha) \ right] = – 2 \ alpha \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ alpha ^ 2 (1 + y ^ 2)} \, dy [/ math]

[matemáticas] = – 2e ^ {- \ alpha ^ 2} I (\ infty) [/ matemáticas]

Nuestra principal preocupación es obtener [matemáticas] I (\ infty) [/ matemáticas] en lugar de obtener [matemáticas] I (\ alpha) [/ matemáticas]. Esto se puede obtener directamente aplicando [math] \ int_0 ^ \ infty \ cdots d \ alpha [/ math] a la expresión de ambos lados anterior.

[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty \ alpha e ^ {- \ alpha ^ 2 (1 + y ^ 2)} \, dy \, d \ alpha = I (\ infty) \ int_0 ^ \ infty e ^ {- \ alpha ^ 2} d \ alpha [/ math]

Aplicando el teorema de Fubini para cambiar el orden de integración en la expresión LHS.

[matemáticas] \ int_0 ^ \ infty \ int_0 ^ \ infty \ alpha e ^ {- \ alpha ^ 2 (1 + y ^ 2)} \, d \ alpha \, dy = I (\ infty) ^ 2 [/ matemáticas ]

[matemáticas] \ frac {1} {2} \ int_0 ^ \ infty \ frac {1} {1 + y ^ 2} \, dy = I (\ infty) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ frac {\ pi} {4} = I (\ infty) ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] I (\ infty) = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, indudablemente podemos concluir

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ \ infty e ^ {- x ^ 2} \, dx = 2I (\ infty) = \ sqrt {\ pi} [/ math]

[matemáticas] \ mathbb {QED} [/ matemáticas]

PD : Puede consultar The Monster Integral o visitar mi página: Anastasiya-Romanova para obtener técnicas más interesantes para evaluar integrales complicadas. (> ‿◠) ✌

Answer 2

Traté de mantenerme alejado del cálculo multivariable o las coordenadas polares tanto como pude, pero al final utilicé una sustitución con coordenadas polares que funcionó como magia.

Al igual que en la respuesta de Anastasiya Romanova, comencemos con el hecho de que [matemática] f (x) = e ^ {- x ^ 2} [/ matemática] es una función par, por lo que es simétrica en el eje y. Así,

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm {d} x = 2 \ int_0 ^ {\ infty} \! e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm {d} x [/ math].

Ahora tomemos [math] \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! E ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm {d} x \ right) ^ 2 [/ math], que podemos expresar con

[matemáticas] 4 \ int_0 ^ {\ infty} \ int_0 ^ {\ infty} \! e ^ {- (x ^ 2 + y ^ 2)} \, \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y [/ math]

Ahora usemos la sustitución [math] x = yt [/ math], con [math] \ mathrm {d} x = y \ mathrm {d} t [/ math]

Entonces la expresión anterior es igual a

[matemáticas] 4 \ int_0 ^ {\ infty} \ left (\ int_0 ^ {\ infty} \! ye ^ {- y ^ 2 (t ^ 2 + 1)} \, \ mathrm {d} y \ right) \ mathrm {d} t [/ math]

A partir de un resultado bien conocido, la integral interna es solo [math] \ frac {1} {2 (t ^ 2 + 1)} [/ math] (lo demostraremos al final). Entonces nos quedamos con

[matemáticas] 4 \ int_0 ^ {\ infty} \ left (\ frac {1} {2 (t ^ 2 + 1)} \ right) \ mathrm {d} t = 2 \ int_0 ^ {\ infty} \ left ( \ frac {\ mathrm {d} t} {t ^ 2 + 1} \ right) [/ math]

Ahora, usamos la sustitución [math] t = \ tan \ theta [/ math], (en consecuencia [math] \ mathrm {d} t = \ sec ^ 2 \ theta \ mathrm {d} \ theta [/ math]) :

[matemáticas] \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm {d} x \ right) ^ 2 = 2 \ int_ {0} ^ { \Pi} \! \ frac {\ sec ^ 2 \ theta \ mathrm {d} \ theta} {\ tan ^ 2 \ theta + 1} [/ math]

Con la identidad [math] \ quad \ tan ^ 2 \ theta + 1 = \ sec ^ 2 \ theta [/ math],

[matemáticas] \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm {d} x \ right) ^ 2 = 2 \ int_ {0} ^ { \Pi} \! 1 \, \ mathrm {d} \ theta = 2 \ left (\ frac {\ pi} {2} \ right) = \ pi [/ math]

Tomando la raíz cuadrada a ambos lados de la ecuación, nos queda el resultado:

[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \! e ^ {- x ^ 2} \, \ mathrm {d} x = \ sqrt {\ pi} [/ math]

Quod erat demonstrandum.

Ahora regresemos a la prueba de la integral interna. Solo para aclarar todo, dejamos que [matemáticas] a = t ^ 2 + 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] u = y ^ 2 [/ matemáticas]. Tenemos

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \! ye ^ {- y ^ 2 (t ^ 2 + 1)} \, \ mathrm {d} y [/ math]

[matemáticas] = \ int_0 ^ {\ infty} \! u ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- au} (\ frac {\ mathrm {d} u} {\ mathrm {d} y}) ^ {- 1} \, \ mathrm {d} u [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ int_0 ^ {\ infty} \! u ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- au} (-2y) ^ {- 1} \, \ mathrm {d} u [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int_0 ^ {\ infty} \! u ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- au} u ^ {- \ frac {1} {2}} \, \ mathrm {d} u [/ math]

[matemáticas] = \ frac {1} {2} \ int_0 ^ {\ infty} \! e ^ {- au} \, \ mathrm {d} u = – \ frac {1} {2a} \ left. e ^ {a (-u)} \ right | _ {0} ^ {\ infty}
[/matemáticas]

Ahora observe que [math] a [/ math] siempre es positivo, ya que lo definimos como [math] a = t ^ 2 + 1 [/ math] y [math] t ^ 2 \ ge 0 [/ math]. Esto significa que podemos evaluar el resultado obtenido:

[matemáticas] \ int_0 ^ {\ infty} \! ye ^ {- y ^ 2 (t ^ 2 + 1)} \, \ mathrm {d} y = – \ frac {1} {2a} (0-1) = \ frac {1} {2 (t ^ 2 +1)} [/ matemáticas]

Quod erat demonstrandum.

EDITAR: Por alguna razón, no todos los LaTeX aparecen procesados.

Answer 3

Como puedo ver, todavía no hay soluciones elementales publicadas, por lo que publicaré una en forma de ejercicio:

Todo lo que necesita saber para resolver este es los métodos estándar para resolver una integral en una variable (integración por partes, sustitución de variables) y las propiedades elementales de una integral definida.

Para una x real, muestra que:
1. [matemáticas] e ^ x \ ge x + 1 [/ matemáticas] y deduzca que [matemáticas] 1-t ^ 2 \ le e ^ {- t ^ 2} \ le \ frac {1} {1 + t ^ 2} [/ matemáticas]

2. Dejar:
[matemáticas] I = \ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t ^ 2} dt [/ matemáticas]
[matemáticas] I_n = \ int_ {0} ^ {1} (1-t ^ 2) ^ n dt [/ matemáticas]
[matemáticas] J_n = \ int_ {0} ^ {\ infty} \ frac {dt} {(1 + t ^ 2) ^ n} [/ matemáticas].
Muestra esa:
[matemáticas] I_n \ le \ frac {I} {\ sqrt {n}} \ le J_n [/ matemáticas]

3. Deje [math] W_n = \ int_ {0} ^ {\ frac {\ pi} {2}} (\ cos t) ^ n dt [/ math].

Muestre que: [matemáticas] I_n = W_ {2n + 1} [/ matemáticas] y [matemáticas] J_ {n + 1} = W_ {2n} [/ matemáticas]

4. Encuentre una correlación (por integración por partes de [matemática] W_ {n + 2} [/ matemática]) entre [matemática] W_n [/ matemática] y [matemática] W_ {n + 2} [/ matemática]. Deducimos el hecho de que la secuencia [matemáticas] u_n = (n + 1) W_n W_ {n + 1} [/ matemáticas] es constante.

5. Deduce el valor de [math] I [/ math] usando 4. y 3..

Answer 4

Sugerencia: intente sustituir y = sqrt (2) * x. Después de un paso elemental, recurra al hecho de que la integral de la función de densidad de probabilidad normal (gaussiana con media cero y desviación estándar unitaria) se integra a una sobre el eje real.

Verá que la respuesta es sqrt (Pi).

Answer 5

Dices que es igual a uno. Así lo hago yo.

Pero eso es solo por mirarlo.

Esa evaluación real es un poco complicada. Fue tan complicado que realmente recuerdo la respuesta con solo mirarla ahora.

Intente rotarlo alrededor del eje y en el sistema de coordenadas xyz.
Intenta convertir a coordenadas polares.

EDITAR:
La memoria me falla. Estoy equivocado.
Es sqrt (π)

Sombreros lo que sucede cuando no haces cálculo en 10 años.
Estaba pensando en la curva de campana estándar, la integral para hat es una.

Answer 6

Aprendí una prueba usando el teorema de la convergencia dominada para integrales, y el equivalente clásico de las integrales de Wallis.
La idea es aproximar el término exponencial por un término en (1-t ** 2 / n) a la potencia n, y puede evaluar esto mediante un buen cambio de variable que conduzca a una integral de Wallis. (perdón por la composición tipográfica, elaboraré más adelante)

Answer 7

Esto se puede resolver fácilmente con la función Gamma.

Answer 8

Ver:
La respuesta de Michael Lamar a ¿Por qué no puede integrarse la distribución normal de menos infinito a infinito?

Answer 9

En primer lugar, lamento decir que no tuve éxito al escribir la fórmula matemática en Quora para mi primer intento.
Mi respuesta se basa en la función de densidad de la distribución gaussiana.
[matemáticas] f (x) = \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ {- \ frac {x ^ 2} {2}} [/ matemáticas]
Debido a la suma de todas las probabilidades igual a 1, podemos obtener
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) dx = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}} e ^ { – \ frac {x ^ {2}} {2}} \ dx = 1 [/ math]
Entonces hagamos una transformación fácil [matemática] t = \ frac {x} {\ sqrt {2}} [/ matemática]
Para que podamos obtener el resultado
[matemáticas] \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} e ^ {- t ^ 2} \, dt = \ sqrt {\ pi} [/ math]

Answer 10

Integral gaussiana

Answer 11

Wow, este es un ejemplo de libro de texto tan estándar que no deberías tener que preguntar. Cuando multiplica dos integrales de este tipo, obtiene exp [- (x ^ 2 + y ^ 2)] en el integrando. Ahora cambie a coordenadas polares.

Answer 12

Esto se conoce como la integral gaussiana o integral de Euler-Poisson .

Encontrarás todo aquí … integral gaussiana

Answer 13

Utiliza el análisis dimensional. Te aconsejaría que leyeras el libro “matemáticas de la lucha callejera”, especialmente el primer y segundo capítulos del mismo.