Cómo calcular eficientemente el número de ceros finales en [matemáticas] 1 ^ n + 2 ^ n + 3 ^ n +…. + M ^ n [/ matemáticas]

Answer 1

El número máximo de ceros ocurre cuando m = 64 yn = 781251
que es 10, por lo que es posible que deba verificar lo que está preguntando
Ideone.com
Normalmente en tales problemas, la respuesta está dentro del rango de largo largo.
tomemos extremo cuando tenga 100 ^ 1000000, (m = 100, n = 1000000)
¿Cuál es el máximo número de ceros que puede tener?
obviamente es 2 * 6 = 12

Entonces, si desea encontrar los ceros máximos finales
1.inicializar x = 12;
2.mientras (suma% pow (10, x)! = 0)
x -; // disminuye el valor de x
x será el número máximo de ceros.

Nota extra:
La serie que tienes se llama power sum.
1 ^ m + 2 ^ m + 3 ^ m +… ,,,,,,, n ^ m

Digamos para 1 ^ 1 + 2 ^ 1 + 3 ^ 1… ..n ^ 1 = n (n + 1) / 2
1 ^ 2 + 2 ^ 2 + 3 ^ 2 + n ^ 2 = n (n + 1) (2n + 1) / 6
m = 3

m = 4

m = 5

y así.,,

El término general se encuentra en la fórmula de faulhaber usando el coeficiente de bernoulli. Eso requiere que almacene el coeficiente de bernoulli en una tabla de búsqueda y es demasiado complejo.

Sin embargo, para fines de programación, encontré esta fórmula en wolfram.

Tenga en cuenta que m se usa como p aquí.

ACTUALIZAR:
para Sp (1) el grado es 2.
para Sp (2) el grado es 3
para Sp (k) el grado es k + 1
para (Sp (1000000) el grado es 10 ^ 6 + 1
ahora m = 100
entonces el número máximo de dígitos posible es 12.

Answer 2

l (W) = \ sum_ {i = 1} ^ {N} \ sum_ {c = 1} ^ C y_ {ic} log \ mu_ {ic} Podría haber un máximo de 12 ceros (no 9), como se explicó en la respuesta de Swapnil Joshi. Pero lo que es más interesante es esto:

De los 100 valores posibles de m, 66 valores no tienen ceros finales (es decir, no es divisible por 10). Puede resolver esto considerando el hecho de que las unidades de dígitos de potencias de los números 1 a 9 se repiten después de cada 4ta potencia.

Los 34 valores restantes tienen ceros finales solo para ciertos formatos de n. Por ejemplo:

1. 12, 24, 31, 43, 56, 68, 87 pueden tener ceros finales solo si n es divisible por 4. (Teniendo en cuenta los dígitos de las unidades que obtuvo en el paso anterior).
2. Los números 75, 99,100 tendrán ceros para todos los valores de n. Pero solo tendrán 2 ceros finales para valores impares de n y 1 cero para los valores pares de n.

Estas y algunas otras propiedades correctas que logras observar se pueden probar mediante inducción matemática. Puede proporcionar los valores correctos para estos números (sin olvidar, esos 66 números que tienen un valor de 0) en un tiempo constante.

Eso nos deja con muy pocos números (39,40,55,15,79,80,64,95) para los cuales descifrar un patrón puede ser difícil y es posible que tenga que recurrir a calcularlos utilizando la solución directa. Para aquellos que no parecen seguir un patrón convincente, puede usar Exponenciación al cuadrar para calcular las respuestas para estos rápidamente. Pero estoy bastante seguro de que estos números también siguen un patrón. Actualizaré esta respuesta, si logro encontrar una.