¿Qué hace que la teoría de números sea un buen tema para el primer intento de investigación matemática original?

Answer 1

La teoría de números es un lugar absolutamente terrible para comenzar si su objetivo final es producir rápidamente una investigación matemática original porque las fronteras de la teoría de números están muy lejos. Llegar a esa frontera requiere comprender mucho más que la teoría de números: dependiendo de qué parte de la frontera le haga cosquillas, es posible que primero necesite aprender álgebra conmutativa, geometría algebraica, álgebra homológica, análisis armónico, teoría de representación, análisis funcional …

La combinatoria es un mejor lugar para comenzar si su objetivo final es producir una investigación matemática original porque requiere relativamente pocos antecedentes para llegar a alguna parte de la frontera. Hay muchas preguntas fáciles de plantear en combinatoria que están muy abiertas y no sería sorprendente si las respuestas a esas preguntas no implicaran nada particularmente sofisticado. (Sin embargo, podría tomar algunos antecedentes comprender las motivaciones detrás de algunas preguntas en combinatoria; a veces estas preguntas provienen de otros campos).

La teoría de números es un buen lugar para comenzar a aprender matemáticas de nivel universitario o de posgrado porque las preguntas que comienza a responder son relativamente concretas, por lo que al menos está claro la mayor parte del tiempo cuál es el punto de todas las cosas tratando de aprender es. Por ejemplo, se puede motivar una gran cantidad de material importante en la teoría de números a partir de la simple pregunta de cómo resolver las ecuaciones de diofantina. Entonces, si su objetivo final es aprender muchas matemáticas interesantes, entonces la teoría de números es un buen lugar para comenzar.

De todos modos, no quiero parecer desalentador, pero creo que tener el objetivo de producir una investigación original no es una idea particularmente buena. La originalidad está bastante sobrevalorada de todos modos. Sus antepasados ​​matemáticos ya pasaron siglos inventando algunas matemáticas bastante sorprendentes, ¿por qué no dedicar un tiempo a explorar lo que ya han hecho primero?

Answer 2

No es un buen lugar para comenzar. La investigación matemática real es típicamente un proceso de tener la intuición suficiente para sospechar que algo es verdad, y luego tratar de probarlo. La teoría de números es altamente contra-intuitiva.

Answer 3

Absolutamente nada.

Answer 4

No quiero ser demasiado desalentador, pero si la pregunta es ‘primer intento’ y ‘original’, entonces no es un lugar recomendado para comenzar un buen lugar. Como es su primer intento, es probable que tenga un bachillerato o una licenciatura, lo que significa que tiene un fondo matemático estrecho, tome mi ejemplo, estoy pensando en una investigación de teoría de números, resolviendo una ecuación de diophantie a ^ n + b ^ n = mc ^ n, que n> 2 ym es un número natural, y no tengo ni idea de la teoría de los números elementales, luego pienso en el intento de Kummer sobre el último teorema de Fermat, luego leo sobre la teoría de los números algebraicos … Creo que probablemente me llevará a números primos regulares (es un tipo especial de números primos), y por eso pienso en la prueba de Andrew Wiles de Fermat Last Theoren, así que creo que tengo que aprender formas modulares y curva elltípica, y …… , Me rindo sosad.
Por supuesto, si no eres original, o si tu investigación no es original, puedes tomar la teoría de los números en tu taza de té.
Por último, creo que lo mejor de la investigación de la teoría de números es que te interesará.