¿Podemos caracterizar pares de enteros no negativos [matemática] x, y [/ matemática] de modo que [matemática] 3x + 7y [/ matemática] sea un cuadrado perfecto?

Answer 1

Deje [math] \ Gamma (3,7) = \ {3x + 7y: x, y \ ge 0 \} [/ math]. Luego [matemáticas] 11 \ notin \ Gamma (3,7) [/ matemáticas], mientras que [matemáticas] 12, 13, 14 \ en \ Gamma (3,7) [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] 12 + 3, 13 + 3, 14 + 3 \ en \ Gamma (3,7) [/ matemática] y agregando [matemática] 3 [/ matemática] a cada uno de los tres enteros consecutivos , cada entero [ matemática]> 11 [/ matemática] está en [matemática] \ Gamma (3,7) [/ matemática].

De los cuadrados [matemática] <11 [/ matemática], es fácil ver que [matemática] 9 \ en \ Gamma (3,7) [/ matemática] mientras [matemática] 1, 4 \ notin \ Gamma (3, 7) [/ matemáticas].

Por lo tanto, [math] \ Gamma (3,7) [/ math] contiene todos los cuadrados excepto [math] 1 [/ math] y [math] 4 [/ math].

Los cuadrados de la forma [math] (3m) ^ 2 [/ math] se pueden expresar como [math] (3 \ cdot 3m ^ 2) + (7 \ cdot 0) [/ math]. Para encontrar todas las soluciones de la forma [math] 3x + 7y [/ math] con [math] x, y \ ge 0 [/ math], debemos tener

[matemáticas] (x, y) \ in \ left \ {(3m ^ 2–7t, 3t): m \ ge 1, 0 \ le t \ le \ lfloor \ frac {3m ^ 2} {7} \ rfloor \ right \} \ ldots (1) [/ math]

Los cuadrados de la forma [math] (3m + 1) ^ 2 [/ math] se pueden expresar como [math] \ big (3 \ cdot (3m ^ 2 + 2m-2) \ big) + (7 \ cdot 1) [/matemáticas]. Para encontrar todas las soluciones de la forma [math] 3x + 7y [/ math] con [math] x, y \ ge 0 [/ math], debemos tener

[matemáticas] (x, y) \ in \ left \ {(3m ^ 2 + 2m-2–7t, 3t + 1): m \ ge 1, 0 \ le t \ le \ lfloor \ frac {3m ^ 2 + 2m-2} {7} \ rfloor \ right \} \ ldots (2) [/ math]

Los cuadrados de la forma [math] (3m + 2) ^ 2 [/ math] se pueden expresar como [math] \ big (3 \ cdot (3m ^ 2 + 4m-1) \ big) + (7 \ cdot 1) [/matemáticas]. Para encontrar todas las soluciones de la forma [math] 3x + 7y [/ math] con [math] x, y \ ge 0 [/ math], debemos tener

[matemáticas] (x, y) \ in \ left \ {(3m ^ 2 + 4m-1–7t, 3t + 1): m \ ge 1, 0 \ le t \ le \ lfloor \ frac {3m ^ 2 + 4m-1} {7} \ rfloor \ right \} \ ldots (3) [/ math]

Pares ordenados [matemática] (x, y) [/ matemática] dada por las ecuaciones. [matemática] (1) [/ matemática], [matemática] (2) [/ matemática] y [matemática] (3) [/ matemática] caracterizan todas las soluciones para [matemática] 3x + 7y [/ matemática] es perfecta cuadrado.

El caso de [math] 10x + 7y [/ math] es similar y se dejó al lector interesado. Puede ser útil tener en cuenta que [matemáticas] 10x + 7y = 3x + 7 (x + y) [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Si [matemática] 3x + 7y = m ^ 2 [/ matemática] multiplicando por [matemática] n ^ 2 [/ matemática]

[matemáticas] 3 (n ^ 2x) +7 (n ^ 2y) = (mn) ^ 2 [/ matemáticas]

Reemplazando [math] n ^ 2x [/ math] por x y [math] n ^ 2y [/ math] por y obtenemos soluciones infinitas, siempre que primero obtengamos un par.

Eso se obtiene fácilmente, por ejemplo, x = 3 e y = 1.

10 x + 7y no es más que 3x + 7 (x + y)

Answer 3

Supongo que está pidiendo encontrar los enteros [matemática] x, y [/ matemática] que satisfacen la condición dada. Se puede demostrar fácilmente que hay infinitas soluciones. Primero, hagamos que [math] 3x [/ math] y [math] 7y [/ math] sean dos cuadrados perfectos iguales. Esto se puede hacer tomando [math] x = 3 \ times {7 ^ 2} \ times {p ^ 2} [/ math] y [math] y = 7 \ times {3 ^ 2} \ times {p ^ 2 } [/ math] donde [math] p [/ math] es un número entero. Luego, nuevamente, multiplique ambos términos con [matemáticas] 2 ^ n [/ matemáticas] donde [matemáticas] n [/ matemáticas] es impar. (Recuerde [math] n [/ math] debe ser impar). Ahora, si agrega los dos términos, la suma será igual a
[matemáticas] 2 \ veces {2 ^ n} \ veces {3 ^ 2} \ veces {7 ^ 2} \ veces {p ^ 2} [/ matemáticas] es decir [matemáticas] 2 ^ {n + 1} \ veces { 3 ^ 2} \ times {7 ^ 2} \ times {p ^ 2} [/ math]. Todos los factores en este número se elevan a un poder parejo. Entonces, si tomamos [matemáticas] x = 2 ^ n \ veces {3} \ veces {7 ^ 2} \ veces {p ^ 2} [/ matemáticas] y [matemáticas] y = 2 ^ n \ veces {7} \ times {3 ^ 2} \ times {p ^ 2} [/ math] tal que [math] n [/ math] es impar, entonces [math] 3x + 7y [/ math] será un cuadrado perfecto.