¿Cuál es el número de formas en que la suma de 2 enteros es menor o igual que cierto número, digamos N?

Answer 1

Esto no se puede generalizar para números enteros, ya que el número de formas siempre será infinito.

Ahora, para su pregunta, suponga que tiene que encontrar el número de formas en que la suma de dos números positivos es menor o igual a 50. Luego, podría escribir esto como:

[matemática] x + y \ le 50 [/ matemática] con [matemática] x, y \ geq 0 [/ matemática]. (esto cambiará a [matemáticas] x, y \ geq 1 [/ matemáticas] para números naturales)
Y podría tomar una variable adicional [math] t [/ math] que toma el valor restante y siempre mantiene la suma a 50 y reescribe su ecuación como:
[matemática] x + y + t = 50 [/ matemática] con [matemática] x, y, t \ geq 0 [/ matemática]. (esto cambiará nuevamente a [matemáticas] x, y \ geq 1 [/ matemáticas] para números naturales)
Esto podría resolverse fácilmente utilizando la expansión binomial. Simplemente encuentre el coeficiente de [math] x ^ {50} [/ math] en la expansión de [math] (1-x) ^ {- 3} [/ math]
(Supongo que sabrás cómo llegamos a [math] (1-x) ^ {- 3} [/ math])

Si observa detenidamente, notará que la respuesta es solo finita porque puede limitar los valores de [math] x, y \ geq 0 [/ math], una vez que elimine esa limitación (hacerlos enteros), siempre habrá infinitas maneras para hacerlo. ¡Buena suerte!