¿Qué es una explicación intuitiva de los hiladores?

Answer 1

Permítanme intentar una “motivación” ondulada de la mano desde una perspectiva matemática que no deben tomarse muy en serio.

Hablando en términos generales, puede pensar en los hiladores como los objetos correctos que ayudan a lograr tomar raíces cuadradas de operadores diferenciales (particularmente el laplaciano). En realidad, son lo que tienen que ser si necesita lograr los siguientes objetivos:

1. Necesitan involucrar números complejos, porque tratar de tomar raíces cuadradas dentro de los números reales es dispararse en el pie.

2. Debe haber una estructura multiplicativa que anticomute, porque realmente queremos términos cruzados en expresiones como

[matemáticas] \ left (\ frac {\ partial} {\ partial x} + \ frac {\ partial} {\ partial y} \ right) ^ 2 = \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x \ partial y} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y \ partial x} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2} [/matemáticas]

para cancelarse mutuamente si queremos tener una oportunidad de factorizar operadores como [math] \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial y ^ 2 }[/matemáticas].

Idealmente, haríamos todo esto en el espacio tangente [math] TM [/ math] o su complejación [math] TM \ otimes _ {\ mathbb {R}} \ mathbb {C} [/ math], pero eso no resultan ser adecuadas, por razones dimensionales como mínimo.

Necesitamos algo así como un álgebra exterior, que nos permite acoplar vectores de forma anticomutativa. El álgebra exterior en sí no funciona porque ciertamente no queremos [matemática] v \ wedge v = 0 [/ matemática], pero su generalización, álgebras de Clifford, será excelente.

Los hiladores son secciones lisas del paquete apropiado que se basa en álgebras de Clifford. Desafortunadamente, esto requiere que intercambiemos nuestras fibras espaciales tangentes n-reales-dimensionales por [math] 2 ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} [/ math] -complex-dimensional fibres. Por otra parte, cuando [math] n = 3 [/ math] es esto no es tan malo.

Puedo seguir hablando de cómo no todos los múltiples atienden a los hiladores por razones topológicas, pero no sé si eso es lo que estás buscando, así que tal vez lo dejaré aquí.

Espero que esto ayude.

Actualización: La estructura multiplicativa anticomutativa del álgebra de Clifford lo obliga a actuar mediante reflexiones sobre la [matemática] T_p M \ simeq \ mathbb {R} ^ n [/ matemática] subyacente. El álgebra lineal nos permite ver las reflexiones de ángulo [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] como ciertas rotaciones de ángulo [matemáticas] 2 \ theta [/ matemáticas]. Esto fuerza la característica conocida de “rotación de 720 grados” de los hiladores que discutieron Quora User y Quora User.

PD. Debo agregar que no soy una persona de física, por lo que no sé el papel de los hiladores en el trabajo de Dirac / en QFT. Estoy feliz de ser educado en eso.

Answer 2

Un spinor puede considerarse como un objeto que, si comienza a girar alrededor de algún eje, no llegará a su estado inicial después de la rotación en 360 grados, sino que llegará a su estado inicial solo después de haberle dado dos rotaciones completas, es decir, Un ángulo de 720 grados. Esta propiedad es, por supuesto, muy poco intuitiva. En el mundo macroscópico, nunca nos encontramos con ningún objeto que no llegue a su estado inicial después de girarlo 360 grados. Sin embargo, existen algunas partículas elementales como elecrones, quarks, etc. que tienen esta propiedad **. Para aquellos que están familiarizados con los números complejos, el ejemplo más simple de un spinor es el spinor unidimensional: es un número complejo [matemático] \ xi [/ matemático] que bajo una rotación por un ángulo [matemático] \ theta [/ matemático ] se transforma como [math] \ xi \ rightarrow exp (i \ theta / 2) \ xi [/ math].

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** Aunque, realmente no tiene sentido pensar en rotar una partícula elemental, pero hay un sentido técnico preciso en el que las partículas elementales como los electrones y los quarks son espinores. La representación unitaria del grupo de Lorentz en el espacio de estado de estas partículas deriva de su representación de espín en los campos cuánticos correspondientes a ellas; y, por lo tanto, los estados cuánticos de estas partículas tienen la propiedad de los hiladores.

Answer 3

Esta es una muy buena.
Truco de la placa
Un spinor es un objeto matemático que se transforma de manera definida bajo la operación de ciertos operadores. Un poco vago, ¿verdad? Los operadores son rotaciones (grupo ortogonal completo) y los spinors son aquellos objetos que giran solo hasta un signo. Pienso en ellos como vectores que apuntan en una dirección en un espacio que es una doble cobertura del espacio físico real, ¡pero también creo que de alguna manera esto está mal!

Answer 4

La gente ha desarrollado un juego cuya mecánica está destinada a proporcionar a los jugadores una comprensión intuitiva de cómo funcionan los spinors. Se llama Tangloids. Si quieres entender los hiladores intuitivamente, jugar este juego es un muy buen lugar para comenzar.