Andrew Weimholt ya ha mencionado en su respuesta que, si bien la parábola no es una curva cerrada en el plano euclidiano real [math] \ mathbb R ^ 2 [/ math] por razones que otras respuestas han elaborado en gran medida, de hecho es una cerrada curva en el plano proyectivo real [math] \ mathbb {RP} ^ 2 [/ math]. Teniendo en cuenta que las cónicas son objetos que naturalmente habitan en [math] \ mathbb {RP} ^ 2 [/ math], creo que esto es algo que vale la pena desarrollar con mayor detalle.
En primer lugar, comencemos con cuál es el plano proyectivo real. Comienza con [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math], elimina el origen y considera [math] (\ lambda x, \ lambda y, \ lambda z) [/ math] como equivalente a [math] ( x, y, z) [/ math] para todos los reales distintos de cero [math] \ lambda [/ math]. Tenga en cuenta que eliminar el origen equivale a exigir que no todas las coordenadas desaparezcan. Geométricamente, esto significa que para cada punto que no es el origen, dibujamos la línea única que pasa por el punto y el origen y consideramos el espacio abstracto formado por todas esas líneas (de modo que cada línea corresponde a un ‘punto’ en el resumen espacio). Este espacio abstracto es el plano proyectivo real. Esto tiene sentido ya que [math] (x, y, z) [/ math] y [math] (\ lambda x, \ lambda y, \ lambda z) [/ math] corresponden a la misma línea.
Una forma de visualizar concretamente este espacio es elegir un representante de cada clase de equivalencia que esté a una unidad de distancia del origen. Geométricamente, esto significa que introducimos una esfera unitaria y asociamos líneas a través del origen con puntos en la esfera en la que las líneas se cruzan. Como puede ver, cada línea se cruza con la esfera en exactamente dos puntos que son antípodas. Entonces, el plano proyectivo real es esencialmente una esfera con antípodas identificadas.
Ahora, una cónica viene dada por una ecuación polinómica de la forma [matemática] f (x, y) = 0 [/ matemática] en donde cada término es de grado [matemático] 2 [/ matemático] o menos. Para los términos con un grado inferior a [matemática] 2 [/ matemática], podemos introducir un poder apropiado de una nueva coordenada ficticia [matemática] z [/ matemática] para que el grado de cada término sea exactamente [matemática] 2 [/matemáticas]. Lo que tendríamos en nuestras manos es una ecuación polinómica homogénea de la forma [matemática] \ tilde f (x, y, z) = 0 [/ matemática]. El origen satisface trivialmente esto, por lo que lo descartamos de la imagen. Para todos los demás puntos, observamos que si [math] (x, y, z) [/ math] es una solución, entonces también lo es [math] (\ lambda x, \ lambda y, \ lambda z) [/ math]. En otras palabras, las soluciones residen naturalmente en [math] \ mathbb {RP} ^ 2 [/ math].
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Veamos qué significa esto para nuestra parábola. Digamos que comenzamos con [matemáticas] x ^ 2-y = 0 [/ matemáticas]. Para homogeneizar el polinomio, introducimos [math] z [/ math], que nos da [math] x ^ 2-yz = 0 [/ math]. Puede recuperar la parábola eligiendo un representante de las clases de equivalencia en las que [math] z = 1 [/ math], pero inmediatamente nos encontramos con un problema. Aunque todos los puntos con [cero] z [/ matemáticas] distintos de cero se pueden escalar para garantizar que [matemáticas] z = 1 [/ matemáticas], se excluyen los puntos con coordenadas que desaparecen [matemáticas] z [/ matemáticas]. Entonces, nos faltan puntos en la parábola.
Para remediar esto, optamos por otra forma de elegir a los representantes. Es decir, usamos el truco de la esfera de la unidad que vimos anteriormente. Pero antes de eso, convéncete de que la superficie formada por las soluciones de [math] x ^ 2-yz = 0 [/ math] en [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math] es un cono de doble siesta obtenido como un superficie de revolución girando los ejes [matemática] y [/ matemática] y [matemática] z [/ matemática] alrededor de la línea dada por [matemática] y + z = 0 [/ matemática] y [matemática] x = 0 [/ matemáticas]. Para ver esto explícitamente, simplemente realice el cambio de coordenadas dado por [math] y = -y ‘+ z’ [/ math] y [math] z = y ‘+ z’ [/ math] y observe que la ecuación se convierte en [matemáticas] x ^ 2 + y ‘^ 2 = z’ ^ 2 [/ matemáticas]. Un cono de doble siesta cruza una esfera en dos círculos antipodales. Como identificamos antípodas en la esfera, vemos que la parábola (y, de hecho, cada cónica no degenerada) es solo un círculo en el plano proyectivo real. Esta es precisamente la ventaja de trabajar en un espacio proyectivo, ya que las soluciones superficialmente distintas se vuelven esencialmente lo mismo.
