¿Se puede explicar la geometría no euclidiana en términos de geometría euclidiana?

Answer 1

Bueno, ¿qué es una geometría euclidiana ? Es simplemente una colección de mesas, sillas, jarros de cerveza *, etc., de modo que:

1. Hay exactamente una silla compartida por cada par de mesas distintas.
2. Cada silla es compartida por al menos dos mesas.
3. Existen tres sillas que no están todas en la misma mesa.
4. (Etcétera)

[Math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] proporciona un ejemplo de una geometría euclidiana: simplemente tomamos las tablas como elementos, las sillas como subconjuntos de la forma ax + by = c, la única cerveza stein para ser todo [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math], las relaciones de incidencia que se darán por contención teórica de conjuntos, y así sucesivamente.

Pero cualquier cosa que satisfaga esta lista de axiomas es una geometría euclidiana, independientemente de si parece tener algún significado “geométrico”. Y, de manera similar, una geometría no euclidiana es algo que satisface una lista de axiomas ligeramente diferente, con el postulado paralelo reemplazado por alguna variante.

Sucede que las geometrías más simples para que los humanos entiendan son las que se parecen al mundo físico, así que esos son los ejemplos que ves.

---

[*] Más comúnmente conocido como puntos, líneas y planos, aunque esto es simplemente una cuestión de terminología.

Answer 2

Una gran cantidad de geometría diferencial es localmente aproximadamente euclidiana. Muy a menudo, sin embargo, veo lo contrario. La geometría euclidiana es un caso especial de geometría no euclidiana. Por ejemplo, el espacio euclidiano emerge cuando el radio de la horósfera se aproxima al infinito.

Editar: si la transformación del espacio euclidiano al espacio no euclidiano es suave y tiene un inverso, simplemente puede aplicarlo y obtener una imagen con líneas deformadas en un espacio euclidiano.

Answer 3

Lo que has estado leyendo son modelos de geometrías no euclidianas en geometría euclidiana.

Hay dos razones para tener tales modelos. Primero, nos facilita la comprensión, ya que la geometría del mundo es localmente euclidiana. Segundo, muestra que esas geometrías son consistentes si la geometría euclidiana es consistente.

También hay modelos de geometría euclidiana tanto en geometría hiperbólica como en geometría elíptica. Por lo tanto, si alguna de las tres geometrías es consistente, también lo son las otras dos.

Answer 4

La geometría no euclidiana es una variación de la geometría euclidiana, con una extensión para la curvatura. Esta es la naturaleza del arte. El espacio real es esencialmente euclidiano, pero hay variaciones en las geometrías no euclidianas,

Answer 5

Puede ver una geometría de Riemann de n dimensiones como una hiperesuperficie en una geometría euclidiana de n + 2 dimensiones. Si la conexión es positiva, puede hacerlo en n + 1 dimensión. El ejemplo típico es un lugar geométrico no fractal de 2 dimensiones como una esfera o un toro que puede visualizar como una superficie en 3 dimensiones euclidianas. No puede visualizar espacios de más de 2 dimensiones, pero su cerebro no puede pensar. Sus ojos solo ven 2 dimensiones, pero su cerebro sabe interpretar que los objetos en el mundo real tienen 3 dimensiones. En este sentido, por supuesto, pero un espacio de curva tridimensional (el espacio donde vivimos, podemos imaginar un espacio euclidiano tridimensional pero es solo una aproximación, muy bueno en zonas del espacio donde el diferencial del tensor métrico es muy pequeño) No ser imaginado por nuestro cerebro. Pero aritméticamente puede generalizar trivialmente el teorema pitagórico y hacerlo. En el caso de un lugar geométrico bidimensional es útil hacerlo, pero en más dimensiones es mejor trabajar en un espacio riemann con geometría euclidiana. Lo mismo es para un espacio pseudoreimaniano con las mismas dimensiones de tipo temporal.