Sin, cos y tan son solo relaciones entre diferentes lados en un triángulo de 90 ángulos. ¿Cómo se usa sin, cos o tan para encontrar el ángulo? Explica paso a paso y con fotos.

Answer 1

Seno, coseno y tangente son solo funciones (trigonométricas). Ellos mismos no son ángulos; más bien, simplemente devuelven el valor de la relación correspondiente evaluada para un triángulo rectángulo en el ángulo prescrito. Entonces, nuevamente, como muestran sus imágenes:

• Función seno: da la relación de la longitud del cateto opuesta al ángulo considerado con respecto a la longitud de la hipotenusa. [Un cateto es solo el término geométrico formalmente correcto para la “pata” de un triángulo rectángulo. Plural es cateti ].
• Función coseno: da la proporción de la longitud del cateto adyacente al ángulo que se considera con respecto a la longitud de la hipotenusa.

Ver la imagen de abajo.

Los valores de las funciones trigonométricas dependen obviamente del ángulo elegido. Se puede tomar la función seno, por ejemplo, sobre el ángulo marcado con theta o el marcado phi en la imagen a continuación. A menudo es una cuestión de preferencia o, y especialmente en física, lo más conveniente para el problema en cuestión. Sin embargo, en la geometría elemental, generalmente se considera el ángulo de referencia , que es ese ángulo que subraya la hipótesis y el cathetus del triángulo que coincide con el eje x . Los ángulos de referencia en las imágenes a continuación son los rojos. Los dos puntos, en el Cuadrante II y el Cuadrante IV, indican que un triángulo con la misma longitud lateral en cualquiera de estos cuadrantes tendrá métricas en gran medida similares. Por ejemplo, cada cuadrante se compone de un componente negativo: QII está en el semiplano x negativo, y QIV está en el semiplano y negativo.

Conclusión: Considere un ángulo arbitrario, theta, en el Cuadrante II. Theta +/- 180 grados produce un ángulo, llámelo ‘theta-prime’, en el Cuadrante IV. La función tangente evaluada para theta en QII es igual al valor de la función tangente de theta-prime en QIV. Lo mismo vale para las relaciones angulares en QI y QIII.

De todos modos, el punto general es que las funciones seno, coseno y tangente no están “convertidas en ángulos”. En matemáticas, llamamos a una función una entidad que realiza una determinada operación; escupe un valor basado en la entrada que se alimenta. Puede pensar en una función como un concepto de “caja negra”.

Aquí, las funciones trigonométricas son nuestras “cajas negras”. La entrada, llamada argumento de la función , son los valores de los ángulos. Entonces alimentamos los ángulos de las funciones trigonométricas, y las salidas de escupir que, como has mostrado, son iguales a las relaciones de los lados apropiados de un triángulo. Ellos mismos nunca se convierten en ángulos.

Sin embargo, dado el valor de una función trigonométrica, uno puede “recrear” el ángulo original utilizando las funciones trigonométricas inversas. Estos simplemente descomponen la función, aplicando operaciones inversas para obtener lo que comenzamos usando las funciones trigonométricas regulares.

Answer 2

Existe una “herramienta” llamada circunferencia goniométrica que es, precisamente, la explicación gráfica de su pregunta. Esa es solo una circunferencia simple de radio = 1 y centrada en (0,0). Entonces, si toma la línea que une (0,0) y (1,0), y cualquier otro radio (el radio “horizontal, a la derecha” se usa solo por los signos y el sistema de referencia habitual) forma un ángulo Hasta aquí, todo parece bastante obvio, ¿no?

Entonces, pensemos en ello. Si tomamos el radio que hemos elegido como hipoteneusa, podemos crear un triángulo de 90 ángulos como este:

Entonces, por ahora, solo mira el triángulo. Deje x ser la longitud del lado del triángulo que está en el eje X (y lo mismo para y, y el eje Y). Usando las fórmulas que ha publicado en la pregunta, vemos que:

cos (θ) = x / radio sin (θ) = y / radio

Pero, hemos definido la circunferencia goniométrica como una circunferencia con radio = 1, ¿no? Por lo tanto: cos (θ) = x, y sin (θ) = y.

De esta manera, puede ver fácilmente que los ángulos dentro del primer cuadrante (0-90) tendrán pecado positivo y cos, los ángulos dentro del segundo (90-180) seguirán teniendo pecado positivo, pero pecado negativo, y así sucesivamente.

Pensando en esto (o incluso dibujándolo), puede encontrar fácilmente sin y cos para ángulos como 0, 90, 180 y 270. Desafortunadamente, no puede usar este procedimiento en todos los casos, ya que sería realmente inexacto. Esta es la razón por la cual las calculadoras tienen la opción sen ^ (- 1), cos ^ (- 1) …

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¿Cómo funcionan las funciones trigonométricas “inversas”? Bueno, como en cualquier otra función. Imagina que encuentras sqrt (4). Probablemente pensarás “¿qué número se convierte en 4 cuando se eleva al cuadrado?” y la respuesta más inmediata será “2”. ¿Pero no es -2 también una respuesta correcta? Sí lo es. Ese es el problema que enfrentarás cuando uses funciones trigonométricas inversas. tanto el ángulo 90 como el 270 tienen un cos (θ) = 0 (y lo mismo sucede con 30 y -30, y así sucesivamente), por lo tanto, necesitará saber en qué cuadrante están (o cuál es su pecado o bronceado) ) para saber cuál de ellos estás buscando.

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Finalmente, explicaré cómo encontrar θ, usando tan (θ). El procedimiento aquí es un poco diferente. Tan significa tangente, una línea que solo toca una curva en cierto punto. Entonces, dibujemos la tangente a la circunferencia goniométrica en el punto (1,0).
Bueno, tan (θ) es la longitud del segmento de esa línea tangente, hasta que la línea que crea el ángulo lo corta, como puede ver en las imágenes de arriba y abajo.

Nuevamente, esto no es demasiado fácil de usar. Esta es la explicación gráfica. No puede usar esto en casi ningún caso (ninguno aparte de 0, 90, 180, 270, probablemente). Entonces, necesitará usar tan ^ (- 1) o, si ya conoce algún otro parámetro trigonométrico, puede aplicar eso:

tan (θ) = sin (θ) / cos (θ) (es muy fácil demostrar que esto es cierto, solo aplica las expresiones que usaste en la pregunta)

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Por lo tanto, espero haber respondido correctamente su pregunta. Si queda alguna duda, solo pregúntame en un comentario o algo. La trigonometría suele ser un poco difícil de obtener cuando se comienza, pero tan pronto como comprende los conceptos, se convierte en algo bastante básico e intuitivo. ¡Espero que llegue pronto a ese punto!