Dada una curva de relleno de espacio (por ejemplo, la curva de relleno de espacio de Hilbert) en el plano cartesiano, ¿una distancia especificada a lo largo de la curva representaría un punto en dos dimensiones? ¿A qué correspondería la distancia 1/2 en la curva de Hilbert?

Answer 1

Desafortunadamente, esta pregunta es imposible de responder a menos que especifique lo que quiere decir con “distancia a lo largo de la curva”. Esta no es una pregunta trivial, como resultado.

Recordemos la definición habitual de la longitud de una curva, que parametrizaremos como [math] \ gamma: [0, 1] \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]. Entonces:

[matemáticas] l (\ gamma) = \ int_0 ^ 1 \ sqrt {\ left (\ frac {\ gamma_x} {dt} \ right) ^ 2 + \ left (\ frac {\ gamma_y} {dt} \ right) ^ 2} dt [/ matemáticas]

(Para aquellos que no han visto esta fórmula antes: se trata de aplicar el teorema de Pitágoras a piezas muy, muy pequeñas de su curva; en el límite, le da la integral anterior).

Esto es bueno, pero tenemos un problema: esta definición requiere que la curva sea al menos por partes diferenciable, ¡lo cual no es una curva de relleno de espacio! Entonces, necesitamos generalizar. Una definición más robusta de la longitud de la curva es:

[matemáticas] l (\ gamma) = \ sup_ {0 = t_0 <t_1 <\ ldots <t_ {n} = 1} \ sum_i ^ {n – 1} | f (t_i) – f (t_ {i + 1} | [/ matemáticas]

(La idea es esencialmente la misma que con la primera fórmula, excepto que ya no nos molestamos en aproximar la curva como una línea cerca de un punto).

Esta definición no necesita que la curva sea diferenciable, lo cual es bueno. La mala noticia es que para la curva de llenado de Hilbert y la curva de llenado de Peano (las construcciones habituales para una curva de llenado plana), resulta que su longitud es infinita. Peor aún, cualquier pieza de ellos también tiene una longitud infinita. Esto se debe a que son fractales. Si quieres aprender más sobre esto, deberías leer sobre la dimensión de Hausdorff y la geometría fractal. Son cosas geniales (de las cuales, ciertamente, no sé casi nada).

Esto debería ser cierto en general (aunque su curva puede tener algunas secciones que son de longitud finita), aunque no puedo encontrar una buena prueba en este momento. Si tengo alguna realización repentina, enmendaré esta publicación.

Answer 2

Buena pregunta. No puede especificar una distancia a lo largo de una curva de relleno de espacio porque tiene una longitud infinita … cualquier distancia finita sería solo al comienzo.

Sin embargo, una curva de relleno de espacio da un orden de todos los puntos en 2D. Por conveniencia, digamos que la curva cubre 1 m [matemática] ^ 2 [/ matemática], luego, en lugar de especificar un punto digamos 0.5 m a lo largo de la curva, usted especifica un punto 0.5 m [matemática] ^ 2 [/ matemática] a lo largo de la curva . Esto tiene una posición bien definida, por ejemplo en una curva de Hilbert:

te da exactamente el centro del cuadrado. 0.25 m [matemática] ^ 2 [/ matemática] desde el inicio está a medio camino hacia arriba en el lado izquierdo y 0.75 m [matemática] ^ 2 [/ matemática] desde el comienzo está a medio camino en el lado derecho.

Lo mismo se aplica a las curvas que no ocupan espacio, como la curva de Koch. No puede especificar una distancia a lo largo de la línea, pero puede especificar una cantidad en unidades [matemáticas] ^ {1.26} [/ matemáticas] a lo largo de la curva. Esta cantidad es la medida de Hausdorff, que generaliza el conteo, la longitud, el área, el volumen, … a dimensiones no enteras también.