Cómo explicar la prueba del teorema de Ceva

Answer 1

Los triángulos COD y DOB tienen la misma altura, al igual que los triángulos CAD y DAB:

Área de DOB = [matemática] \ bar {BD} h_1 / 2 [/ matemática]
y
Área de DQO = [matemática] \ bar {CD} h_1 / 2 [/ matemática]

Área de DAB = [matemática] \ bar {BD} h_2 / 2 [/ matemática]
y
Área de CAD = [matemáticas] \ bar {CD} h_2 / 2 [/ matemáticas]

Entonces [matemáticas] \ frac {área DAB} {área CAD} = \ frac {área DOB} {área COD} [/ matemáticas] = [matemáticas] \ frac {\ bar {BD}} {\ bar {CD}} [ /matemáticas]

Multiplique [math] \ frac {area DAB} {area CAD} [/ math] = [math] \ frac {\ bar {BD} h_2 / 2} {\ bar {CD} h_2 / 2} [/ math] por [ math] \ frac {(1- \ frac {h_1} {h_2})} {(1- \ frac {h_1} {h_2})} [/ math] para obtener [math] \ frac {AreaDAB-AreaDOB} {area CAD- areaCOD} [/ math]
que si miras una imagen es igual a [math] \ frac {areaABO} {areaACO} [/ math].

De esto obtenemos la declaración [matemáticas] \ frac {\ bar {BD}} {\ bar {CD}} = \ frac {areaACO} {areaABO} [/ math]

Usando una lógica similar podemos obtener:

[matemática] \ frac {\ bar {CE}} {\ bar {EA}} = \ frac {areaBCO} {areaABO} [/ math] y [math] \ frac {\ bar {AF}} {\ bar {FB }} = \ frac {areaCAO} {areaBCO} [/ math]

Por lo tanto, [matemática] \ frac {\ bar {BD}} {\ bar {CD}} \ frac {\ bar {CE}} {\ bar {EA}} \ frac {\ bar {AF}} {\ bar {FB }} = [/ matemáticas] [matemáticas] \ frac {areaABO} {areaACO} \ frac {areaBCO} {areaABO} \ frac {areaCAO} {areaBCO} = 1 [/ math]

Hay una prueba en el artículo de Wikipedia, acabo de completar algunos “vacíos” que no se explicaron completamente.