Si hay 3 puntos (a, b, c) en la circunferencia de un círculo, ¿cuál es la probabilidad de que el triángulo a, b, c forme un triángulo de ángulo obtuso?

Answer 1

3 puntos arbitrarios a, b, c en la circunferencia de un círculo. Y formando un triángulo uniéndolos.

En el experimento anterior, hay 6 resultados posibles, que son los siguientes …

Un círculo se divide en 2 semicírculos. Y a continuación, los puntos en el semicírculo significa que los puntos están marcados en su arco. Entonces, 6 formas posibles son:

(1): los 3 puntos en un semicírculo, se forman triángulos obtusos

(2): los 3 puntos en el segundo semicírculo, se forman triángulos obtusos.

(3): 1 punto en un semicírculo. 2 puntos en el otro. Se forman triángulos agudos.

(4): 1 punto en el segundo semicírculo. 2pojnts en el primero. Se forman triángulos agudos.

(5): 1 punto en un semicírculo, 2 puntos son puntos finales del diámetro correspondiente. Se formaron triángulos rectángulos.

(6): 1 punto en el segundo semicírculo, 2 puntos son puntos finales del diámetro correspondiente. Se formaron triángulos rectángulos.

Ahora, sea E el evento “formando un triángulo obtuso”. Entonces, el no de resultados favorables para E = 2

Ahora, P (E) = (no de resultados favorables a E) / No de resultados posibles

= 2/6 = 1/3

P (E) = 1/3

Answer 2

Supongamos que hay [matemática] 2n + 2 [/ matemática] puntos en un círculo y [matemática] 2 [/ matemática] de estos puntos se ubicarán en un diámetro mientras que [matemática] n [/ matemática] se ubicará en cada punto del semicírculo.

Sabemos que podemos formar un triángulo de ángulo obtuso en un círculo si los 3 puntos se encuentran por encima del diámetro. Por lo tanto, debemos elegir [math] 3 [/ math] puntos entre [math] n [/ math] punto por encima del diámetro.

Esto se puede hacer en [math] \ displaystyle ^ nC_3 = \ dfrac {n (n-1) (n-2)} {6} [/ math]

Ahora podemos hacer un número similar de triángulo obtuso en la otra mitad del círculo.

[matemática] \ por lo tanto [/ matemática] Triángulo de ángulo obtuso total [matemática] = \ dfrac {n (n-1) (n-2)} {3} [/ matemática]

Además, el número total de triángulos que se pueden hacer de [matemática] 2n + 2 [/ matemática] puntos no colineales es [matemática] \ displaystyle ^ {2n + 2} C_3 = \ dfrac {(2n + 2) (2n + 1) (2n)} {6} = \ dfrac {2 \ cdot n (n + 1) (2n + 1)} {3} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas] La probabilidad de seleccionar 3 puntos que forman un triángulo de ángulo obtuso se da como

[matemáticas] P = \ dfrac {\ dfrac {n (n-1) (n-2)} {3}} {\ dfrac {2 \ cdot n (n + 1) (2n + 1)} {3}} [/matemáticas]

[matemáticas] P = \ dfrac {(n-1) (n-2)} {2 \ cdot (n + 1) (2n + 1)} [/ matemáticas]

[matemáticas] P = \ dfrac {(n ^ 2 – 3n +2} {2 \ cdot (2n ^ 2 + 3n + 1)} [/ matemáticas]

Tomando [matemática] n ^ 2 [/ matemática] común tanto en numerador como en denominador

[matemáticas] P = \ dfrac {n ^ 2 (1 – \ frac {3} {n} + \ frac {2} {n ^ 2})} {2n ^ 2 (2+ \ frac {3} {n} + \ frac {1} {n ^ 2})} [/ matemáticas]

Sabemos que hay [math] \ infty [/ math] puntos en un círculo, por lo tanto, necesitamos encontrar

[matemáticas] \ displaystyle \ lim_ {n \ to \ infty} P = \ dfrac {1} {2} \ cdot \ dfrac {1} {2} = \ dfrac {1} {4} [/ math]

Answer 3

En primer lugar, la probabilidad de un triángulo rectángulo es cero.
Se puede formar un triángulo obtuso solo cuando los 3 puntos se encuentran en un lado de cualquier diámetro.
entonces,
tome la variable aleatoria X (k) asociada con el punto en el círculo, P (k).
entonces,
P (X1 + X2 + X3 = 1) = E (X1 + X2 + X3) ya que al menos una de estas variables puede ser 1.
considerando los puntos a elegir de manera uniforme, su probabilidad dist. Será idéntico. Entonces lo anterior será igual a 3E (X1).
La probabilidad de que 2 pts estén en semicírculo en X1 es (1/2) * (1/2) = 1/4

por lo tanto, la probabilidad de req es 3E (X1) = 3 (1/4)

= 3/4

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