¿El teorema de punto fijo de Brouwer es válido en espacios no euclidianos?

Answer 1

Lo único que importa es la topología, no la geometría. Un disco cerrado en el plano euclidiano y un disco cerrado en el plano hiperbólico tienen geometrías diferentes, pero tienen la misma topología, es decir, son homeomórficos. (Un disco cerrado en un plano incluye la circunferencia y el interior de un círculo. Un homeomorfismo entre dos espacios topológicos es una biyección continua cuya inversa también es continua).

La versión bidimensional del teorema del punto fijo de Brouwer dice que cualquier función continua desde un disco cerrado a sí misma tiene un punto fijo. Eso significa que si f es la función, entonces hay algún punto ( x, y ) en el disco cerrado tal que f ( x, y ) = ( x, y ).

El teorema general de punto fijo de Brouwer dice que una función continua de un disco cerrado de cualquier dimensión a sí misma tiene un punto fijo. Una unidad de disco cerrado en [math] \ mathbf R ^ n [/ math] es el conjunto

[matemática] \ {(x_1, \ ldots, x_n) \ in \ mathbf R ^ n \, | \, x_1 ^ 2 + \ cdots + x_n ^ 2 \ leq 1 \} [/ math]

Como el teorema solo se refiere a la continuidad, también es válido para cualquier espacio homeomorfo a un disco tan cerrado.

Answer 2

Sí, es cierto para el espacio no euclidiano,
Teorema de punto fijo de Brouwer
Pero, vea las limitaciones del teorema: no es cierto en ausencia de complejidad, función abierta (ilimitada) y funciones no continuas:
Página en ucsd.edu

Answer 3

He entendido el teorema y lo hace, ya que ni siquiera es necesario que haya ningún tipo de geometría, solo una colección de puntos que forman un continuo. Entonces, si se mantiene en alguna geometría, se mantiene en todos ellos apoyando un objeto continuo. No necesita ser 3D, podría ser cualquier cantidad de dimensiones desde 1 hasta el infinito, excluyendo el infinito.

Answer 4

El teorema de Brouwer afirma un punto fijo para cualquier función continua de mapeo de un conjunto convexo compacto en sí mismo.

El toro es compacto pero no convexo, como un disco con un agujero en el centro o como un plano sin punta.

Otro ejemplo de conter incluye espacios homeomorfos a un plano con dos puntos eliminados (toro de dos agujeros), plano con tres puntos eliminados (tors de tres agujeros), …

Answer 5

El teorema no es válido para un toro. Una rotación alrededor del agujero no tiene un punto fijo. La superficie de un toro es un espacio no euclidiano.

No hace falta decir que hay muchos otros ejemplos.