Comience con dos puntos A y B. El objetivo es construir el punto M a medio camino entre A y B. Primero dibuje dos círculos, uno con el centro A y el radio AB, y el otro con el centro B y el mismo radio. Deje C y D ser los dos puntos donde se cruzan.
Si tuviéramos una regla, entonces podríamos dibujar las líneas AB y CD, y luego M sería donde esas dos líneas se cruzan. Pero no tenemos una regla, por lo que el problema se reduce a lo que llamaré la construcción LL
LL : construye la intersección de dos líneas, cada una dada por dos puntos.
No será fácil realizar LL con solo una brújula. La única construcción con brújulas que tenemos es CC :
- ¿Cuántos lados tiene un cuadrilátero?
- ¿Cuál es la longitud de la línea que divide un triángulo inscrito en la siguiente ilustración?
- ¿Alguien ha pensado en buscar formas geométricas como una forma de información en lugar de entropía, 0 y 1 de Shannon?
- Al integrarse en coordenadas esféricas, ¿por qué los límites para el ángulo Phi son la mitad de lo que esperaría que fueran?
- Si dos líneas se superponen y directamente una encima de la otra, ¿son ambas paralelas y coinciden o simplemente coinciden?
CC : construye las intersecciones de dos círculos dados sus centros y un punto en cada circunferencia.
Otra construcción que se necesita para hacer toda la geometría euclidiana es LC, por lo que también podríamos incluir eso:
LC : construye las intersecciones de una línea dada por dos puntos y un círculo dado su centro y un punto en su circunferencia.
Primero mostraremos que las construcciones LL y LC son posibles por medio de otras dos construcciones, PC y CM , que pueden realizarse solo con brújulas.
PC : construya la inversa P ‘ de un punto P en un círculo dado su centro y punto en su circunferencia.
CN : construye el centro de un círculo dados tres puntos en su circunferencia
Primero, ¿cómo obtienes LL y LC de CC , PC y CN ?
Paso 1. Seleccione un círculo arbitrario fuera de la figura, es decir, un círculo que no contenga partes de la figura. Llámalo el círculo delimitador. Use PC para invertir en ese círculo delimitador todos los puntos especificados de la figura original. Todos los puntos invertidos se ubicarán dentro del círculo delimitador. Esta inversión convierte los datos para círculos y líneas de la figura original en datos para círculos en la figura invertida.
Paso 2. Necesitaremos los centros de los círculos en la figura invertida para dibujar los círculos. La construcción CN construye esos centros siempre que tengamos tres puntos en cada círculo, y podemos hacer que los que usen PC inviertan suficientes puntos de los círculos y líneas originales.
Paso 3. Cada intersección requerida de la figura original, ya sea de dos círculos, de un círculo y una línea, o de dos líneas, corresponde a una intersección de dos círculos en la figura invertida. Use CC para encontrar las intersecciones en la figura invertida.
Paso 4. Use la PC nuevamente para invertir las intersecciones en la figura invertida a las intersecciones de la figura original.
Por lo tanto, las construcciones CC , PC y CN son suficientes para realizar las construcciones LC y LL .
A continuación, ¿cómo obtienes PC y CN de CC ?
Estas construcciones PC y CN se dan en la respuesta de David Joyce a ¿Es posible encontrar el punto central de un círculo usando solo una brújula?
Para obtener más información sobre la geometría de la brújula, consulte Construcción por brújulas solo.
