Al integrarse en coordenadas esféricas, ¿por qué los límites para el ángulo Phi son la mitad de lo que esperaría que fueran?

Answer 1

Imagina una esfera, radio = R. Accedemos a algún punto en la esfera, obviamente nuestra coordenada r tiene que ser igual a R. Con [math] \ vartheta [/ math] (ángulo polar) determinamos dónde estaremos cuando se proyecte en el plano xy y lo tienes bien, va de 0 a 2pi.

Ahora, establezcamos [math] \ varphi = 0 [/ math], eso nos pondría en el Polo Norte de nuestra esfera, (0,0, R) en el sistema cartesiano. Si ahora estableciéramos [math] \ varphi = \ pi [/ math], terminaríamos en el Polo Sur, (0,0, -R) en el sistema cartesiano. Desde aquí podemos ver que [math] \ varphi [/ math] (ángulo azimutal) solo puede tomar valores de -pi a pi.

Si deseamos integrarnos en toda la esfera, tendríamos que integrarnos en dominios completos de nuestros ángulos. Esto nos lleva a 0 a [matemáticas] 2 \ pi [/ matemáticas] para el ángulo polar y 0 a [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] para el ángulo azimutal.

Nota: los físicos generalmente usan theta para el ángulo azimutal y phi para el ángulo polar, tenga cuidado con eso

Answer 2

así como puedes ver, las coordenadas esféricas tienen 2 ángulos.
Es como una posición en la tierra, que tiene latitud y longitud.
La longitud da la vuelta.
Y la latitud va de polo a polo, y la razón es porque contarás dos veces la contribución del integrando a la integral si ambos ángulos van de 0 a 2pi. Piense en integrar sobre la esfera para encontrar su volumen: si integra sobre phi de 0 a pi, obtiene la mitad de un círculo; si integras theta de 0 a 2pi, ese semicírculo barre el volumen de la esfera; sin embargo, si integró phi de 0 a 2pi, entonces eso le da un círculo completo, que si luego integra theta de 0 a 2pi, el círculo barre el volumen de la esfera dos veces . Solo necesita integrar phi de 0 a pi para barrer el volumen completo de la esfera.

Fuente de discusiones Foros de Física

Answer 3

Esperemos que este visual pueda ayudar …
Phi describe la mitad del círculo, mientras que theta lo gira alrededor del eje z 360 grados. Que forma una esfera de radio rho (p)