¿Qué es una conexión en geometría diferencial?

En geometría diferencial, una conexión en términos generales significa que estamos moviendo datos a lo largo de una curva suave [matemática] C ^ {\ infty} [/ matemática] [matemática] \ gamma [/ matemática] de forma paralela. Dado que muchos trabajos en geometría diferencial miran la información localmente, cuando miramos el transporte localmente, terminamos con algo llamado transporte paralelo. Un transporte paralelo es lo que usan los geómetras y analistas para transportar datos a lo largo de [math] \ gamma [/ math] en alguna variedad [math] M [/ math].

Este concepto también se puede aplicar a los paquetes de fibra. Si tenemos un espacio de producto localmente de tal manera que creamos un paquete de fibra [matemática] B [/ matemática], entonces el transporte paralelo puede aplicarse en [matemática] B [/ matemática] de forma lineal.

Si queremos transportar vectores en lugar de solo datos en una variedad en lugar de un espacio arbitrario general, entonces necesitamos la conexión afín. Una conexión afín no solo mueve datos a través de [math] \ gamma [/ math], sino que conecta espacios tangentes que dan campos vectoriales que son tangentes a las múltiples propiedades de cálculo [math] M [/ math], como la diferenciabilidad.

Un ejemplo de una conexión afín. La superficie verde representa la variedad [matemática] M [/ matemática], y las secciones rojas representan espacios tangentes.

Lo que está conectado son diferentes espacios tangentes en el colector.

Digamos que la variedad era la superficie de una barcaza. Puede empujar un espacio tangente en la parte posterior de la barcaza o jalar un espacio tangente en la parte delantera de la barcaza; el transporte paralelo lo lleva entre estas dos opciones (y me gustaría decirle cómo convertir una fuerza dada en cualquier cara de la barcaza).