¿Qué significa cuando decimos que los fractales tienen una dimensión fraccional?

Answer 1

Hay algo llamado dimensión de Hausdorff. La idea de esto se explica con más detalle aquí:
Dimensión fractal

Básicamente, la idea es que estás viendo lo que se necesita para cubrir la forma. y cómo eso varía en diferentes escalas. ¿Te acuerdas de Cálculo, cuando querías estimar el área bajo una curva usando rectángulos? Luego haces los rectángulos cada vez más pequeños, aumentando el número de rectángulos y viendo el patrón del área a medida que aumenta el número. Esto no es exactamente lo mismo, pero existe una idea similar de tratar de cubrir la forma o región con cajas de diferentes tamaños. Básicamente, si usa cajas más pequeñas, necesita más. Imagine que tiene un cuadrado de longitud 1, para un área de 1. Si usa cajas de tamaño [math] \ epsilon = 1 [/ math], necesita [math] N (\ epsilon) = 1 [/ math]. Cada cuadro tiene área [matemáticas] \ epsilon ^ 2 [/ matemáticas]

Si reduce el tamaño del cuadro por [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática] a [matemática] \ frac {1} {2} [/ matemática], multiplica N por 4, o [matemática] \ frac {1} {2} ^ {- 2} [/ math]

Si reduce el tamaño del cuadro por [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática] a [matemática] \ frac {1} {4} [/ matemática], multiplica N por 16, o [matemática] \ frac {1} {4} ^ {- 2} [/ matemáticas]

Y, en general, si reduce el tamaño del cuadro a [math] \ epsilon [/ math],
multiplicas N por [matemáticas] \ epsilon ^ {- 2} [/ matemáticas]
[matemáticas] N (\ epsilon) = \ epsilon ^ {- 2} [/ matemáticas]
Los dos vienen de la dimensión [matemática] D = 2 [/ matemática]. En una caja cuadrada, tomas la longitud lateral y la elevas a la potencia 2.

Generalizando esto para cubrir una forma de dimensión arbitraria, tiene:
[matemáticas] N (\ epsilon) = \ epsilon ^ {- D} [/ matemáticas]

Si toma el registro de ambos lados, obtendrá:
[math] log N = -D log \ epsilon [/ math]

Entonces, si traza [math] log N [/ math] versus [math] log \ epsilon [/ math], básicamente utilizando papel escalado log-log, la dimensión de Hausdorff es la -ve de la pendiente.

Lo que sucede con formas complejas como los fractales es que a medida que avanza a tamaños de caja más bajos, obtiene un poco más de economía al cubrir el límite de lo que esperaría de una forma geométrica más tradicional como un cuadrado incrustado dentro de la misma dimensión del espacio. Entonces, por ejemplo, un fractal incrustado en 3d tendrá una dimensión entre 2 y 3, y un fractal incrustado en un espacio 2d tendrá una dimensión entre 1 y 2.

Answer 2

Una definición típica de un fractal es un espacio métrico con una dimensión fraccional de Hausdorff. Puede encontrar más información sobre la dimensión de Hausdorff en las respuestas a estas preguntas.

• ¿Cuál es la mejor manera de describir un fractal?
• En términos simples, ¿cuál es la medida de la dimensión de Hausdorff?
• Fractales: en términos simples, ¿cómo se calcula una dimensión de Hausdorff?
• ¿Cuáles son algunas de las estructuras autosimilares más interesantes?

Answer 3

Esta discusión en Wikipedia me parece muy buena:
Dimensión fractal

Imagina una costa particularmente accidentada. Si tiene una vara de medir muy larga, no puede obtener todos los “rincones y grietas” de la superficie y su estimación se suavizará con estos valores.

Ahora tome una vara de medir más corta. Como puedes entrar en más rincones y grietas, aparece más de la irregularidad.

Pasar a una nueva escala de medida de longitud conduce a un aumento en la estimación del perímetro (para un fractal plano).

Un análisis detallado de la costa de Gran Bretaña condujo a una dimensión de aproximadamente 1,25 para la escala.

Esta nueva “escala de longitud implica un borde más largo” es el corazón de la dimensión fractal no entera. Una curva 1-d se ve “plana” en todas las escalas de longitud. Una curva bidimensional “llena el espacio” en todas las escalas de longitud. Los fractales van entre estos.