¿Existe una ecuación que pueda determinar una línea / ángulo de número entero para un triángulo en el que todos los lados son enteros positivos enteros y cuyos ángulos también son enteros y positivos?

Answer 1

Las funciones trigonométricas ‘sin’ y ‘cos’ son racionales para números enteros de grados solo para unos pocos valores. Ver: ¿Cuándo es $ \ sin (x) $ racional? y el Teorema de Niven, de Wolfram MathWorld. Solo 0, +/- 1 y +/- 1/2 son posibles resultados racionales, es decir:

[matemáticas] \ sin 0 ^ {\ circ} = 0 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin 90 ^ {\ circ} = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sin 30 ^ {\ circ} = \ cos 60 ^ {\ circ} = 1/2 [/ matemáticas]

De estos, solo el último es relevante para crear triángulos.

La ley de los cosenos nos dice que para cualquier triángulo con lados a, b, c y ángulos opuestos A, B, C:

[matemáticas] a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 – 2 bc \ cos A [/ matemáticas]
[matemáticas] b ^ 2 = a ^ 2 + c ^ 2 – 2 ac \ cos B [/ matemáticas]
[matemáticas] c ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 – 2 ab \ cos C [/ matemáticas]

Ahora, si a, byc son todos enteros, entonces [math] \ cos A, \ cos B, \ cos C [/ math] deben ser racionales (resolver las ecuaciones anteriores para esos términos). Pero sabemos que Esto solo puede suceder a 60 grados. Entonces, la única solución es [matemáticas] A = B = C = 60 ^ {\ circ} [/ matemáticas], el triángulo equilátero.

Answer 2

Si te refieres a ángulos en grados integrales, la forma más fácil de construir tales triángulos es hacer triángulos equiláteros (todos los ángulos de 60 grados) con tres lados enteros iguales. No me sorprendería si estos son los únicos triángulos que existen, pero no sería capaz de demostrarlo.