¿Es posible triseccionar un ángulo usando una brújula y un borde recto?

Answer 1

Como otros han señalado, esto está relacionado con la teoría de Galois. Aquí hay un bosquejo del argumento.

Las reglas de regla y compás son equivalentes a las siguientes:
0) Comience con dos puntos, que podemos tomar como origen y (1,0).
1) Dados dos puntos construidos, puedes dibujar la línea a través de esos puntos.
2) Dados dos puntos construidos, puedes dibujar un círculo centrado en uno de ellos, a través del otro.
3) La intersección de dos curvas construidas (o líneas) se considera un punto construido.

Las coordenadas de cualquier punto construido de esta manera se pueden obtener comenzando con los enteros y sumando, restando, multiplicando, dividiendo y tomando raíces cuadradas. Puede probar esto por inducción en el número de líneas y curvas que construye.

Es posible construir un ángulo de 30 grados. Sin embargo, no puede construir un ángulo de 10 grados, ya que el seno y el coseno de 10 grados NO son números de esa forma. Para obtener sin (10 grados) y cos (10 grados), debe tomar raíces cúbicas.

(Aquí es donde entra en juego la teoría de Galois. Si un número x es una raíz de una ecuación polinómica de orden n, pero no de una ecuación de orden inferior, y si n no es una potencia de 2, entonces x no puede ser expresado en términos de raíces cuadradas repetidas de números racionales. Del hecho de que [matemáticas] (\ cos (10) + i \ sin (10)) ^ 6 = (1 + i \ sqrt {3}) / 2 [/ matemática] y, por lo tanto, que la parte real de [matemática] (\ cos (10) + i \ sin (10)) ^ 6 [/ matemática] es 1/2, podemos encontrar una ecuación polinómica de sexto orden que es satisfecho por cos (10 grados), utilizando el hecho de que incluso los poderes del pecado (10) se pueden eliminar con [matemáticas] \ sin ^ 2 (x) = 1- \ cos ^ 2 (x). [/ matemáticas]. I olvide si esa ecuación de sexto orden tiene en cuenta el producto de dos ecuaciones de tercer orden o no, pero en cualquier caso cos (10 grados) no satisface ningún polinomio de grado 1, 2 o 4.)

Conclusión: no hay forma de trisecar un ángulo de 30 grados (mucho menos un ángulo arbitrario) con regla y brújula.

Answer 2

El ángulo no se puede triseccionar (en general) usando el borde recto y la brújula. Se puede demostrar que la brújula recta puede calcular sumas, diferencias, productos, proporciones y raíces cuadradas. Esto significa que solo las raíces de polinomios de grado 2 ^ n pueden resolverse con estos instrumentos.

La trisección requiere la solución de una ecuación -cúbica- que no se puede factorizar más. Pero el borde recto y la brújula no se pueden usar para resolver ecuaciones cúbicas irreducibles, por lo tanto, no se puede trisecar el ángulo general.

La misma prueba también muestra que el cubo no puede duplicarse en volumen con una regla y una brújula. Esto requeriría encontrar la raíz -cubo- de 2.

Answer 3

Aunque Pierre Wantzel (1837) muestra el problema como generalmente imposible de resolver, no es del todo imposible. Se puede hacer efectivamente con una regla marcada y una brújula. He explicado el procedimiento en otra pregunta.

La respuesta de Bijan Sarangi a ¿Cómo podemos trisecar un ángulo?

Answer 4

No estoy seguro de que haya una prueba simple. La prueba estándar de estas cosas depende de la teoría de Galois, ya que no se probó hasta 1837. Si eres razonablemente competente con las matemáticas de nivel de grado, podrías seguir la teoría. Leí la teoría de Ian Stewart, Galois Theory, 1989 poco después de mi licenciatura. Lo cual es una lectura interesante.

Hay una especie de prueba de contorno en la trisección de ángulo y la duplicación del cubo. Para duplicar el cubo es equivalente a encontrar el punto [matemática] x = \ sqrt [3] {2} [/ matemática] que está resolviendo la [cúbica] matemática x ^ 3-2 = 0 [/ matemática]. Puede mostrar todos los métodos de construcción geométrica para dar puntos que pueden definirse mediante ecuaciones cuadráticas. Las matemáticas pesadas muestran que no puedes hacer raíces cúbicas a partir de números que involucran racionales y raíces cuadradas. (A2A)

También es posible que desee ver el reciente video de Numberphile

Answer 5

Puede que le guste leer este artículo, ya que responde ambas partes de su pregunta de manera concisa. Planeaba copiar partes de él aquí, pero desafiaría el propósito. ¡Disfrutar!

Una propiedad de ecuaciones cúbicas en cut-the-knot.org

Answer 6

Algún sabio colocó muescas en el borde recto y los problemas se resolvieron.

Sí, en algunos casos, puede trisecar algunos ángulos. Pero, ¿por qué preocuparse por tales dificultades? Marcar un borde recto y usar las marcas como referencias resolverá el problema.

Esto nos lleva a mi teorema de que Euclides apesta .

Pero esto también nos lleva a algo profundo:

El universo solo se puede entender con una métrica. Por lo tanto, Dios existe.

Answer 7

Esto se demostró imposible hace mucho tiempo. Recuerdo haber leído sobre esto en HS, pero aparentemente Pierre Wantzel resolvió el asunto en 1837. Ver trisección de ángulo

Answer 8

La respuesta de Joshua es buena, y recomiendo consultar el enlace que publicó. Sin embargo, creo que vale la pena señalar un par de cosas de esa página para aclarar qué es exactamente lo que se ha demostrado imposible:

• Primero, es posible trisecar algunos ángulos usando solo una brújula y un borde recto. Por ejemplo, es bastante fácil construir un ángulo de 30º triseccionando un ángulo de 90º, pero hay muchos otros “ángulos especiales” trisecables. Ciertamente puede haber encontrado algunas buenas maneras de triseccionar algunos de estos ángulos especiales.
• En segundo lugar, es posible trisecar aproximadamente cualquier ángulo: por ejemplo, si bisecta un ángulo, biseca uno de los ángulos más pequeños, y así sucesivamente (eligiendo cada nuevo ángulo de acuerdo con la expansión binaria de 1/3), puede obtener tan cerca como desee triseccionar cualquier ángulo que desee. Desafortunadamente, estos métodos pueden requerir infinitos pasos para converger al trisector exacto. Es posible que haya encontrado algunos métodos generales para aproximar la trisección del ángulo, ¡tal vez incluso uno que converja bastante rápido! – pero que siempre tiene un pequeño error si se detiene después de muchos pasos.
• Finalmente, es posible trisecar exactamente un ángulo arbitrario con una brújula y una regla si los usa de formas poco ortodoxas. Por ejemplo, los antiguos griegos sabían que puedes trisecar ángulos si tienes una regla marcada (como una regla). Este problema se trata menos de lo que es prácticamente factible, sino más bien del interés matemático puro de lo que es cierto bajo un conjunto dado de supuestos (un sistema axiomático).

Para hacer que la afirmación de su profesor de matemáticas sea precisa, es imposible encontrar un procedimiento general, que utilice solo las operaciones tradicionales asociadas con la brújula y la regla, que corta exactamente cualquier ángulo que usted le dé .

Answer 9

Sí, pero es bastante complicado de explicar. Primero dibuja un arco desde el vértice. Dibuja una línea de pierna a pierna. Biseca esa pierna y dibuja un semicírculo con el semicírculo intersectando las piernas donde se cruza la línea. Trisecar el semicírculo usando el radio del círculo. Trisecar la línea de una pierna a otra. Luego, resolviendo la raíz cuadrada de una ecuación de identidad de 49 términos, puede determinar la longitud del radio de un círculo que interseca el semicírculo y la línea triseccionada. Donde se cruza con el arco es donde se corta el ángulo.

Answer 10

No creo entender completamente la pregunta. Siempre puede subdividir un ángulo en tres ángulos iguales cuya suma sea igual al original.

Si tiene un ángulo [matemática] \ theta [/ matemática], puede subdividirla en tres ángulos de magnitud [matemática] \ theta / 3 [/ matemática]

Editar: ahora soy consciente de que esto es probablemente a lo que te referías: trisección de ángulo

Answer 11

No, no es posible, pero no serías el primero en intentarlo. El problema se remonta a la antigüedad. Fue uno de los grandes problemas sin resolver, junto con doblar un cubo y construir un cuadrado con la misma área que un círculo. Durante miles de años, las personas pasaron la vida intentando hacerlo o demostrando que no se podía hacer. La prueba de que no se pudo hacer no se ideó hasta 1837.

La prueba es un poco más complicada de lo que quiero entrar aquí. Equivale a demostrar que está tratando de resolver un problema cúbico con herramientas que solo son buenas para problemas de segundo orden. Para más detalles, esta página es bastante buena:
http://www.uwgb.edu/dutchs/pseud …

El resumen de Wikipedia de la prueba también es bastante bueno.

Por lo tanto, su maestro ciertamente tenía razón al decirle que cualquier método que se le ocurrió era incorrecto, aunque descubrir por qué el método era incorrecto puede ser complicado. A la gente se le ocurrieron algunas formas ingeniosas de tratar de resolver el problema, y ​​los errores podrían ser difíciles de detectar.

Answer 12

No. Ver aquí para más detalles: http://en.wikipedia.org/wiki/Ang …

Answer 13

Trisección gráfica de un ángulo arbitrario