No creo que puedas probar esto sin alguna forma debilitada de la conjetura de Schanuel. Específicamente, es equivalente a “¿son 1, e y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] linealmente independientes sobre los racionales?” y creo que esa pregunta está abierta.
Podemos probar esto siguiendo la lógica en el enlace del usuario de Quora a los puntos racionales en un círculo.
Supongamos que hay dos puntos racionales en el círculo. Si dos puntos distintos están en un círculo, su bisectriz perpendicular pasa por el centro. Si los puntos son racionales, entonces la bisectriz perpendicular tiene la ecuación [matemática] ax + by = c [/ matemática] con a, b, c racional, de modo que [matemática] a \ pi + be = c [/ matemática] define un relación lineal entre 1, e y [matemáticas] \ pi [/ matemáticas].
Por el contrario, suponga que [math] a \ pi + be = c [/ math] para a, b, c racional. Entonces el centro [matemática] (\ pi, e) [/ matemática] se encuentra en una línea [matemática] L: ax + by = c [/ matemática] con ecuación racional. Si el radio se establece de modo que el círculo pase por algún punto racional P que no esté en L , entonces la reflexión de P a través de L es un segundo punto racional en el círculo.
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Como dice el enlace de Andrew, no puede haber más de dos puntos racionales en el círculo. Si hubiera 3, formarían un triángulo con coordenadas racionales para los puntos, ecuaciones racionales para las bisectrices perpendiculares y, por lo tanto, un circuncentro racional.
Editar: Fernando Fonseca me ninja con un contraejemplo específico, pero lo dejo porque es el caso general.