¿Cuál es la teoría para transformar cualquier cuadrilátero en un triángulo sin cambiar el área?

Answer 1

Estás hablando de lo que solía llamarse la “aplicación de área”, pero a menudo se llama “cortar y pegar”. Aparece en los Elementos de Euclides, Libro I. Los principios involucrados son

1. dos figuras congruentes tienen la misma área
2. Si corta una figura en dos, la suma de las áreas de las dos partes es igual al área de la figura original.

Esto es lo que puede hacer si tiene un ABCD cuadrilátero para encontrar un triángulo de igual área.

Primero corta el cuadrilátero en dos. Si es convexo, puede cortarlo a lo largo de AC o BD. Si es cóncavo, una de esas dos diagonales se encuentra dentro de ABCD, así que córtela a lo largo de esa. Digamos que es AC. Entonces

Área ( ABCD ) = Área ( ABC ) + Área ( BCD )

Ahora usa los Elementos de Euclides, Libro I, Proposición 44 en cada uno de esos triángulos. Toma un triángulo, como el amarillo de abajo, y encuentra un rectángulo con la misma área, el amarillo, pero con una altura dada (puede hacerlo la altura de su unidad si lo desea) que es BG en la figura. (Euclides lo hizo para cualquier ángulo obteniendo un paralelogramo, pero estamos interesados ​​en ángulos rectos para rectángulos).

Haz eso para que los dos triángulos obtengan dos rectángulos de la misma altura. Pégalos juntos para obtener un rectángulo largo. Tendrá la misma área que el cuadrilátero original ABCD .

Ahora dobla la altura de ese rectángulo y córtalo a lo largo de una de sus diagonales. Cada uno de los triángulos resultantes tiene la misma área que ABCD.

La única parte difícil aquí es la Proposición 44. Para ver cómo se hace eso, mire hacia atrás a la Proposición 42, que construye un rectángulo con la misma área que el triángulo dado, el rectángulo azul en la figura de arriba. La Proposición 44 luego usa la Proposición 43 (que dice que los rectángulos azul y amarillo tienen la misma área) para obtener un rectángulo de una altura específica. La altura especificada es necesaria porque queremos pegar dos rectángulos juntos.

Answer 2

¿Te refieres a encontrar un triángulo cuya área sea equivalente a la de un cuadrilátero dado? La fórmula para el área de un paralelogramo es bh (base por la altura), y un triángulo tiene el área 0.5bh (la mitad de la base por la altura); si tiene un triángulo con la misma altura que un paralelogramo dado, pero el doble de la longitud de la base (o cuya base es la misma longitud que la de un paralelogramo dado, pero es el doble de alto), eso sería suficiente. Probablemente podrías descubrir algo similar con un trapecio dado.