¿Cuáles son los conjuntos compactos [math] K [/ math] en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] que se pueden dividir en partes [math] m [/ math] de manera que cada parte (conjuntos de módulos de [matemática] \ matemática {R} ^ n [/ matemática] medida cero) es congruente con cualquier otra parte y similar a [matemática] K [/ matemática]?

Answer 1

Dichos conjuntos se denominan fichas Rep, y no hay una clasificación completa de ellos incluso en el plano, y mucho menos en dimensiones superiores

Hay todo tipo de rep-tiles en el avión. Uno de los más famosos es la esfinge. Es el único mosaico pentagonal conocido.

El cohete es otro. Cada triángulo se puede dividir en tres cohetes, por lo que el cohete se puede dividir en 36 partes de cohetes.

La isla Gosper es un mosaico fractal de siete partes.

Cada triángulo es un mosaico con 4 partes. Así es cada paralelogramo y cada rombo. Aquí hay algunos otros rep-tiles de 4 partes:

(Fuente)

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No pude encontrar muchos resultados generales en dimensiones superiores. El Hill simplex es un rep-tile simplicial tridimensional de 8 partes:

y es posible que este sea el único símplex tridimensional que es un mosaico de repetición. Eso no quiere decir que no haya otros tipos o rep-tiles en tres dimensiones. En el documento sobre la inexistencia de tetraedros k-reptiles por Matoušek y Safernová se encuentran algunos progresos hacia la prueba de que no hay otros rep-tiles tetraédricos.

No estoy seguro de qué más se sabe sobre los mosaicos de repetición de dimensiones superiores.