¿Existe una explicación geométrica de multiplicar dos números complejos?

Answer 1

Creo que la respuesta de Justin Rising es la forma más sencilla de entenderlo. Solo agregaré algunos conceptos básicos más. Suponga que [math] z \ in \ mathbb {C} [/ math] y [math] z = x + yi [/ math] donde [math] x, y \ in \ mathbb {R} [/ math], luego en el plano complejo, donde el eje [matemático] x [/ matemático] es la parte real de ([matemático] z [/ matemático]) y el eje [matemático] y [/ matemático] es la parte imaginaria de ([ matemática] z [/ matemática]), la distancia entre el origen y el punto [matemática] z [/ matemática] es [matemática] \ sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} [/ matemática], que a menudo lo denotamos como an [math] r [/ math] y el ángulo desde el eje [math] x [/ math] a la línea pasa el origen y el punto [math] z [/ math] en sentido antihorario se denota como [math] \ theta [/ math]. (Algunas personas llaman [math] r [/ math] como un módulo de [math] z [/ math] y [math] \ theta [/ math] como un argumento de [math] z [/ math])

Entonces podemos reexpresar [math] z [/ math] como [math] r (cos (\ theta) + isin (\ theta)) [/ math] usando alguna trigonometría básica. Además, gracias a Euler, [math] r (cos (\ theta) + isin (\ theta)) = re ^ {i \ theta} [/ math] se mantiene.

Answer 2

Cada número complejo puede considerarse una transformación, siendo el módulo un factor de escala y el argumento una rotación. Multiplicar dos números complejos es equivalente a aplicar las dos transformaciones a su vez.

Answer 3

Míralo en coordenadas polares. El producto de [math] r_1e ^ {i \ theta_1} [/ math] y [math] r_2e ^ {i \ theta_2} [/ math] es igual a [math] r_1r_2e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} [/matemáticas]. La magnitud es un factor de escala, y el argumento es una rotación.

Answer 4

Sí, e incluso puedes demostrar que la rotación + dilatación implica i² = -1.

Aquí estamos multiplicando dos números (C + iS) (c + es), donde i es el ordinal x de una unidad y eje. Las medidas de las longitudes se dan en ‘pulgadas’ a la derecha y los ángulos a la izquierda. Estos son R “, a ° yr”, b ° respectivamente, se imagina que el producto es (Rr) “, (a + b) °

El producto de estos da D, donde OD que es Cc + Ssi² en el eje xy (Cs + cS) i, pero la coordenada de D es OA-CD es Cc-Ss, por lo tanto i² = -1.

Y ni siquiera invocamos las series e o taylor.

OBF calcula (C + iS) (c-is).

Answer 5

Muchos piensan que las dos identidades de suma de ángulos:
[matemáticas] cos (\ theta_1 + \ theta_2) = cos (\ theta_1) cos (\ theta_2) – sin (\ theta_1) sin (theta_2)
sin (\ theta_1 + \ theta_2) = cos (\ theta_1) sin (\ theta_2) + cos (\ theta_2) sin (\ theta_1) [/ math]
puede ser probado por la fórmula de Euler. Pero tiene una prueba geométrica pura (Pruebas de identidades trigonométricas) que explica por qué podemos usar la notación exponencial:
[matemáticas] e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} = cos (\ theta_1 + \ theta_2) + i \ sin (\ theta_1 + \ theta_2) \\
e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} = (cos (\ theta_1) cos (\ theta_2) + i ^ 2sin (\ theta_1) sin (\ theta_2)) + i (cos (\ theta_1) sin (\ theta_2) + cos (\ theta_2) sin (\ theta_1)) \\
e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} = cos (\ theta_1) (cos (\ theta_2) + i \ sin (\ theta_2)) + i \ sin (\ theta_1) (i \ sin (\ theta_2) + cos (\ theta_2)) \\
e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} = (cos (\ theta_1) + i \ sin (\ theta_1)) \ (cos (\ theta_2) + i \ sin (\ theta_2)) \\
e ^ {i (\ theta_1 + \ theta_2)} = e ^ {i \ theta_1} \ e ^ {i \ theta_2} [/ math]