¿Cuál es el área mínima posible para un triángulo rectángulo con un radio de 1 unidad?

Answer 1

Un diagrama general de la situación dada es:

[matemáticas] \ Delta = \ frac {1} {2} ab [/ matemáticas]
también
[matemáticas] \ Delta = \ frac {1} {2} a + \ frac {1} {2} b + \ frac {1} {2} (a-1 + b-1) = a + b-1 [/ matemáticas] … (1)

[Matemática] \ Delta = a + b -1 [/ matemática] … para cualquier triángulo dado.
Pero queremos [math] \ Delta_ {min} = (a + b) _ {min} -1 [/ math] … (2)

También vemos de (1) que

[Matemáticas] ab = 2 (a + b -1) [/ matemáticas]

[Matemáticas] (a-2) (b-2) = 2 [/ matemáticas]

Sabemos que cuando

[matemáticas] XY = K (constante) [/ matemáticas]

[matemáticas] (X + Y) _ {min} = 2 \ sqrt {K} en X, Y = \ sqrt {K} [/ matemáticas]

Así [matemáticas] (a-2 + b-2) _ {min} = 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

[matemáticas] (a + b) _ {min} = 4 + 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Pon este valor en (2).

Por lo tanto, [math] \ Delta_ {min} = 3 + 2 \ sqrt {2} [/ math]

Answer 2

Inradius de 1 significa que [math] ab = a + b + c [/ math] y [math] a + bc = 2 [/ math], entonces [math] ab = 2 + 2c [/ math] y por lo tanto, solo minimizar la hipotenusa (o equivalente, el perímetro).

Si ahora configura Multiplicadores de Lagrange para la minimización de c con restricciones a² + b²-c² y a + b-2-c = 0, debería obtener la condición mínima para ser a = b, es decir, el triángulo isósceles. Ahora de estos dos puede extraer el valor de a y obtener su área (es [matemáticas] 3 + 2 \ sqrt {2} [/ matemáticas], supongo)