La longitud de un rectángulo es de 7 cm y el ancho es de 4 cm. Si tanto la longitud como el ancho se incrementan en cantidades iguales, el área del rectángulo aumenta en 42 cm ^ 2. ¿Cómo encuentro la longitud y el ancho del rectángulo más grande?

Answer 1

El rectángulo original mide 7 cm por 4 cm y, por lo tanto, tiene un área de

7cm x 4cm = 28cm ^ 2

El nuevo rectángulo es 42 cm ^ 2 más grande, por lo tanto, el nuevo rectángulo tiene un área de

28cm ^ 2 + 42 cm ^ 2 = 70cm ^ 2

Dado que ambos lados del rectángulo original se incrementan en la misma cantidad, la ecuación puede describir el nuevo rectángulo

(7cm + Xcm) (4cm + Xcm) = 70cm ^ 2

Use FOIL (Primero, Exterior, Interior, Último) para multiplicar los binomios, sumando los resultados de las cuatro multiplicaciones.

7cm x 4cm = 28cm ^ 2
7cm x Xcm = 7Xcm ^ 2
Xcm x 4cm = 4Xcm ^ 2
Xcm x Xcm = X ^ 2cm ^ 2

Combina los términos similares de 7X y 4X

X ^ 2cm ^ 2 + 11Xcm ^ 2 + 28cm ^ 2 = 70cm ^ 2

Para resolver por X, lleva todos los términos a un lado de la ecuación

X ^ 2cm ^ 2 + 11Xcm ^ 2 + 28cm ^ 2 – 70cm ^ 2 = 0

X ^ 2cm ^ 2 + 11Xcm ^ 2 – 42cm ^ 2 = 0

Ahora para resolver por X necesitamos factorizar el lado izquierdo de la ecuación. Hacemos esto al encontrar dos números que se multiplican para producir -42 y suman para producir 11. Dado que el resultado de la multiplicación es negativo y el resultado de la suma es positivo, sabemos que uno de los factores será negativo, y cuanto mayor sea El factor tiene que ser positivo.

-1 y 42? No
-2 y 21? No
-3 y 14? Si.

Por lo tanto, factorizar la ecuación nos da

(Xcm – 3cm) (Xcm + 14cm) = 0

La ecuación anterior es igual a 0, por lo que sabemos que

(Xcm – 3cm) = 0

o

(Xcm + 14cm) = 0

Resuelve ambos y obtienes

X = 3 o X = -14

Dado que agregar -14 a cualquiera de los lados del rectángulo original produciría un largo o ancho negativo, esta no puede ser la respuesta, por lo tanto, X = 3. Podemos verificar esto al retroceder y agregar 3 a cada una de las dimensiones originales.

7cm + 3cm = 10cm y 4cm + 3cm = 7cm

10 cm x 7 cm = 70 cm ^ 2

Esto es 42 cm ^ 2 más grande que el rectángulo original, por lo que sabemos que estamos en lo correcto.

Answer 2

Sabemos que [math] lw = A [/ math].

Suponiendo que la longitud que aumentan ambos lados es [matemática] x [/ matemática], sabemos que [matemática] (l + x) (w + x) = A + 42 [/ matemática].

Resta la primera ecuación de la segunda ecuación y simplifica:
[matemáticas] (l + x) (w + x) -lw = 42 [/ matemáticas]
[matemáticas] lw + lx + wx + x ^ 2-lw = 42 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + (l + w) x-42 = 0 [/ matemáticas]

Como [math] l + w = ​​11 [/ math], esto es solo
[matemáticas] x ^ 2 + 11x-42 = 0 [/ matemáticas]

Que se puede factorizar fácilmente en [matemáticas] (x + 14) (x-3) = 0 [/ matemáticas].

Como sabemos que la longitud y el ancho aumentaron, tomamos la solución positiva [matemática] x = 3 [/ matemática] de esta ecuación. Por lo tanto, el nuevo largo y ancho son [matemática] (l + 3) [/ matemática] y [matemática] (w + 3) [/ matemática], que son iguales [matemática] 10 [/ matemática] y [matemática] 7 [/ matemáticas], respectivamente.

Answer 3

Deje que los lados se incrementen en X
Área = (7 + X) (4 + X) = 28 + 42
Eso es X ^ 2 + 11X-42 = 0
Resolviendo esto, obtenemos
X = 3 o -14
Entonces las nuevas dimensiones son 10 y 7

Answer 4

De acuerdo, ¡resolvamos eso!

Llamemos [matemáticas] a = 4 [/ matemáticas], [matemáticas] b = 7 [/ matemáticas] las dimensiones iniciales del rectángulo, nuestro alargamiento [matemáticas] x [/ matemáticas] y nuestras nuevas dimensiones [matemáticas] a ‘= 4 + x [/ matemáticas], [matemáticas] b’ = 7 + x [/ matemáticas].

El área anterior es [matemática] \ matemática {A} = ab = 28 [/ matemática], por lo tanto, la nueva área es [matemática] \ matemática {A} ‘= a’b’ = 28 + 42 = 70 [/ matemática] .

Llamemos a [math] c ‘= \ frac {a’ + b ‘} 2 = 5.5 + x [/ math]. Por lo tanto, [matemática] a ‘= c’ – 1.5 [/ matemática] y [matemática] b ‘= c’ + 1.5 [/ matemática]. Entonces tenemos:

[matemáticas] \ matemáticas {A} ‘= a’b’ = (c ‘- 1.5) (c’ + 1.5) = c ‘^ 2 – 1.5 ^ 2 = 70 [/ matemáticas]

En consecuencia, como sabemos [math] c ‘[/ math] es positivo, [math] c’ = \ sqrt {72.25} = 8.5 [/ math]

y [matemáticas] x = c ‘- 5.5 = 3 [/ matemáticas].

Answer 5

Anteriormente, el área era: [matemáticas] 7 * 4 = 28 cm ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora el área es: [matemáticas] (7 + x) * (4 + x) = (28 + 42) = 70 cm ^ 2 [/ matemáticas]

Ahora todo lo que tenemos que hacer es resolver ‘x’, que era la misma cantidad en la que ambos lados aumentaron.

Expanda los corchetes: [matemática] x ^ 2 + 11x + 28 = 28 + 42 [/ matemática]

Ahora quite 28 de ambos lados: [matemática] x ^ 2 + 11x = 42 [/ matemática]

Luego quite 42 de ambos lados: [matemática] x ^ 2 + 11x – 42 = 0 [/ matemática]

Esto es mucho más fácil ahora, todo lo que tenemos que hacer es factorizar y resolver ‘x’:

[matemáticas] => (x + 14) (x-3) = 0 [/ matemáticas]

Entonces ‘x’ es -14 o 3, pero debido a que x es una medida de longitud, debe ser un número positivo, entonces x es 3.

También puede resolver esto con una imagen visual:

Luego, siguiendo la misma lógica que antes, puede llegar nuevamente al mismo valor de x = 3

Answer 6

Área inicial = 28 cm-sqr
Área final = 28 + 42 = 70 cm- sqr
Ahora, 70 se pueden factorizar de 2 maneras:

1.10 × 7: los lados del rectángulo son 10 y 7.
2.14 × 5: los lados del rectángulo son 14 y 5.

La primera es la respuesta correcta, ya que este rectángulo tiene lados que son exactamente 3 unidades más que el rectángulo anterior en longitud y ancho.

Answer 7

Área del rectángulo original = 7 × 4
= 28
Área nueva = (7 + x) X (4 + x) = 28 + 42
28 + 7x + 4x + x ^ 2 = 70
x ^ 2 + 11x-42 = 0 Ecuación cuadrática
Entonces puedes usar el método de fórmula para completarlo

Answer 8

(7 + x) * (4 + x) = 28 + 42 = 70
x ^ 2 + 11x-42 = 0
x = 3, -14
Entonces, la longitud y el ancho del rectángulo más grande es 10, 7.

Answer 9

Método 1

(7 + 0) * (4 + 0) = 7 * 4 = 28 = 7 * 4 + 0
(7 + 1) * (4 + 1) = 8 * 5 = 40 = 7 * 4 + 12
(7 + 2) * (4 + 2) = 9 * 6 = 54 = 7 * 4 + 26
(7 + 3) * (4 + 3) = 10 * 7 = 70 = 7 * 4 + 42

Por lo tanto, el gran rectángulo es 10 por 7

Método 2

(7+ x ) (4+ x ) = 28 + 42 = 70

Expandir términos
x ^ 2 + 11 x + 28 = 70

Resta 70 de cada lado
x ^ 2 + 11 x-42 = 0

Usa fórmula cuadrática
x = (- 11 (+ -) sqrt (289)) / 2

Por lo tanto
x = 3 o -14

-14 no tiene sentido en esta pregunta ya que el rectángulo tiene que hacerse más grande, así que x = 3

(7 + 3) * (4 + 3) = 10 * 7

Entonces el gran rectángulo es 10 por 7