¿Todos los triángulos son equiláteros?

Answer 1

Todos los teoremas utilizados fueron correctos, por lo que el único lugar que podría salir mal es el diagrama. De hecho, el diagrama dibujado era incorrecto. Los triángulos dibujados con la bisectriz perpendicular no estarán ambos en el exterior del triángulo principal, uno se bisecará dentro del triángulo principal mientras que uno se bisecará afuera. Lo que se dibujó es que ambos se bisecan afuera, permitiendo así la “prueba”.

Editar: Aquí hay una prueba ilustrada ya que alguien la solicitó.
El triángulo de la izquierda es el que se muestra en el video, sin las bisectrices perpendiculares (incorrectas).
Por las restricciones en los triángulos ABD y ACD, que son las dos longitudes comunes que comparten y el ángulo [matemático] \ alfa [/ matemático], vemos que solo hay dos casos posibles para los triángulos, que se muestra en la figura de la izquierda .

ABD y ACD obviamente no son congruentes (o AB = AC), y por lo tanto deben ser uno de los dos triángulos posibles que se muestran. (no pueden ser el mismo triángulo ya que no son congruentes) Por lo tanto, uno de los ángulos (x o y) debe ser mayor de 90 grados, mientras que el otro menor de 90 grados. La bisectriz perpendicular resultante a lo largo de la línea que atraviesa AB estará entonces fuera del ABC, mientras que la bisectriz perpendicular que atraviesa AC estará dentro de ABC. QED

Nota: Si bien x> y es cierto para el diagrama dibujado anteriormente, no importa en esta prueba, ya que independientemente de cuál sea mayor, uno debe ser> 90 grados y el otro <90 grados, y ese es el único hecho necesario para esta prueba

Answer 2

No

Y puedo probar ESO.

Si toma el dibujo, se sugiere que ambos triángulos BB * X y CC * X estén en ángulo recto en B * y C * y que ambos ángulos rectos apunten hacia afuera. Si esto fuera cierto, entonces ambos ángulos ABX y ACX serían mayores de 90 grados, entonces
[matemáticas] A \ hat {B} X + A \ hat {C} X> 180 ^ {\ circ} [/ math]

Sin embargo, existe un hermoso teorema:

La bisectriz perpendicular de un lado de un triángulo y la bisectriz de su esquina opuesta se cruzan en el círculo de ese triángulo.

(Ejemplo: aquí)

No lo probaré (a menos que alguien solicite una prueba), pero esto significa que ABXC es un cuadrilátero cíclico.
Y como cualquiera sabe, dos ángulos opuestos de un cuadrilátero cíclico suman 180 grados. Entonces
[matemáticas] A \ hat {B} X + A \ hat {C} X = 180 ^ {\ circ} [/ math]
Espera … ¡acabamos de decir que esos dos ángulos eran mayores de 180 grados! Claramente una contradicción!

Notarás que la verdadera imagen siempre se verá así:
Ahora mire la prueba de Numberphile nuevamente y pruebe sus pasos ahora en esta figura. Verás que solo tienes que cambiar un signo. Un simple signo negativo hace que la prueba que se muestra sea completamente inválida.

Sin embargo, puede probar que AC – AB = 2CC ‘= 2BB’.
Lo cual es aburrido en comparación con la declaración original.

Answer 3

EDITAR: cambio de respuesta.

El problema es que, aunque los triángulos XBB * y XCC * son congruentes, no son meros reflejos entre sí, como él dijo. Más bien, son solo versiones desplazadas / rotadas entre sí. Esto implica que no son XAB * y XAC * los que son congruentes, sino ABX y AC * X (o AB * X y ACX).

Esto es una consecuencia de lo que dice la respuesta de Kian Cheong sobre los triángulos creados por la bisecta perpendicular, es decir, que ambos no estarán completamente fuera del triángulo principal.

Answer 4

George Polya demostró una vez que todos los caballos del mundo son del mismo color: todos los caballos son del mismo color

Por lo general, el objetivo de estas pruebas de sonido absurdo es mostrar los defectos en una línea particular de razonamiento y hacer hincapié en la precaución que debe ejercerse mientras se emplea.

Answer 5

Por lo general, no lo son. El triángulo BCX es el equilátero.
AXB * y AXC * son congruentes? ¿Tenemos alguna prueba real? Digamos que sí … Pero eso lleva a AB = AC, que está mal, por lo que hay algo por todas partes que no está bien …

Dame una prueba completa de que AXB * y AXC * son congruentes. Realmente, una prueba completa, no solo indicando como en el video.

Answer 6

Hice una demostración interactiva de la construcción ¿Son todos los triángulos iguales? en eso puedes ver claramente el problema con la prueba.