Vea el enlace del cartel anónimo para una introducción a los torsores. En resumen, los torsores son medidas no conmutativas que carecen de unidades. Supongamos que vivieras en un mundo sin convenciones métricas. Luego, con un palo, no podría calcular su longitud, pero con dos palos, podría compararlos, es decir, dividir la longitud de uno por la longitud del otro (bueno, suponiendo que los palos tengan un valor distinto de cero) longitud: cero es el mismo en cualquier sistema de unidades). Por supuesto, no hay nada que impida que las personas de este mundo se unan y acuerden una unidad de longitud y, digamos, lo llamen el medidor. Pero esto sería problemático si la longitud no fuera una propiedad preservada globalmente: digamos, si la longitud local se comportó como estamos acostumbrados, pero pasar del punto A al punto B cambió la longitud de su palo por un factor que dependía de la ruta usted toma. Probablemente esto no suceda en nuestro universo (aunque el nuestro tiene otros problemas con la definición de la longitud), pero hay ejemplos geométricamente relevantes donde esto sucede. En este caso, simplemente dice que la longitud es un conjunto de “cantidades” a, b, c … que son múltiplos reales distintos de cero entre sí (por lo que podemos definir un número real a / b) pero sin una elección de unidad.
El ejemplo no conmutativo preeminente es cuando la cantidad que estamos considerando (la generalización de palos) es una base unitaria para el espacio tangente a un punto en un espacio con métrica de Riemann. Dadas dos bases, digamos B y B ‘en el mismo punto, hay una matriz ortogonal única B / B’ tal que (B / B ‘) * B’ = B. Si cuando nos unimos para definir una longitud, también acordamos sobre una base fija en cada punto, diga “Norte, Este, Arriba” en nuestro universo, entonces las bases B, B ‘podrían codificarse como matrices (en la base Norte-Este-Arriba), y la matriz B / B’ sería simplemente una división matricial. Pero sucede que la mayoría de los universos geométricamente interesantes no admiten una elección de base constante y continua en todos los puntos, y todo lo que nos queda es una forma de comparar dos opciones diferentes para “Norte, Este, Arriba” y salir una matriz