¿Qué forma da el mayor volumen con la menor área de superficie a un cilindro VS cuboide y por qué?

Answer 1

Bien, establezcamos primero las reglas básicas
1. El cuboide más óptimo es un CUBO, donde l = b = h = s
2. El cilindro más óptimo es uno, con h = 2r,
que se puede encontrar en Optimal Can Dimensions, o Page en lkdsb.net.

Además, considere el Área o volumen como constante.

Entonces suponga Área = 600.
1. Cubo
[matemáticas] Área = 600 = 6 * s ^ 2 [/ matemáticas]
por lo tanto s = 10
[matemáticas] Volumen = s ^ 3 = 10 ^ 3 = 1000 [/ matemáticas]

2 cilindro
[matemáticas] Área = 2 \ pi rh + 2 \ pi r ^ 2 h = 2 \ pi r (r + h) [/ matemáticas] [matemáticas] = 2 \ pi r (3r) = 6 \ pi r ^ 2 [ /matemáticas]
Por lo tanto,
[matemáticas] 600 = 6 * \ pi r ^ 2
r = \ sqrt {100 / \ pi} = 5.6418 [/ math]

por lo tanto r = 5.6418
[matemáticas] Volumen = \ pi r ^ 2 h = 2 \ pi r ^ 3 [/ matemáticas]
poner r = 5.6418
[matemáticas] Volumen = 2 \ pi * 5.618 ^ 3 = 1114.1023 [/ matemáticas]

Entonces, el volumen del cilindro es [matemático] \ aprox 1.1 * [/ matemático] volumen del cubo,
Pero eso es IFF, tanto Cylinder como Cuboid son óptimos

Answer 2

Dado que los volúmenes tanto cuboides como cilíndricos pueden considerarse
[matemática] (V = A _ {\ mathrm {base}} \ times \ mathrm {height}) [/ math]

Sus áreas son
[math] (A = P _ {\ mathrm {base}} \ times \ mathrm {height} + 2 \ times (A _ {\ mathrm {base}})) [/ math]

Ahora, suponga que un cubo y un cilindro tienen el mismo volumen y alturas idénticas. Esto significa que tienen la misma área base. Por lo tanto, todo lo que tenemos que demostrar es que el perímetro de un círculo de un área determinada es menor que un rectángulo de la misma área.

[matemáticas] A = \ pi r ^ 2 [/ matemáticas]. Construimos un rectángulo de perímetro mínimo cuando es un cuadrado (piense que el producto de 2 números con suma constante es máximo cuando los números son iguales). Su perímetro es entonces
[matemáticas] P _ {\ mathrm {rect}} = 4 \ sqrt {\ pi} r \ aprox 7.09 r [/ matemáticas]

Mientras que para un círculo es
[matemática] P _ {\ mathrm {circ}} = 2 \ pi r \ aprox 6.28 r [/ math]

QED

Answer 3

Creo que la suposición faltante es “para el mismo volumen”, porque a medida que aumenta el tamaño de cualquiera de los dos, la proporción de volumen: área de superficie parece crecer sin límites. Es decir, para cualquier cilindro arbitrario, puedo hacerte un cuboide más grande con una relación más eficiente, y para cualquier cuboide arbitrario, puedo hacerte un cilindro con una relación más eficiente.

Sin embargo, si tiene un volumen conocido y desea contenerlo en un cuboide o en un cilindro, reduciendo la cantidad de área de superficie, entonces estamos en el negocio.

Supongamos que V = 1000.

El cuboide más eficiente es uno donde todos los lados coinciden, entonces S1 = S2 = S3 = 10. Volumen 1000, área de superficie 600, con una relación de 5/3 (1.6666).

El cilindro más eficiente es donde R = H / 2, entonces H es aproximadamente 10.83852, y R es aproximadamente 5.41926, con una relación de poco más de 9/5 (1.80642).

¿Ganador? ¡Cilindro!

Answer 4

Supongamos que tienen un volumen V. Supongamos que son regulares (altura igual que el diámetro del cilindro, cubo para el cuboide)
El volumen del cubo es [matemática] V = l ^ 3 [/ matemática], es decir, [matemática] l = \ sqrt [3] {V} [/ matemática], entonces su área es [matemática] 6l ^ 2 = 6 \ sqrt [3] {V ^ 2} [/ math], exactamente 6 veces [math] V ^ \ frac {2} 3 [/ math].

Bien, hagámoslo con el cilindro ahora. Su volumen es [math] \ pi r ^ 2 \ cdot2r [/ math], es decir, [math] V = 2 \ pi r ^ 3 [/ math]. Resolver para r da [math] r = \ sqrt [3] \ frac {V} {2 \ pi} [/ math]. OK, el área de superficie es [matemática] 2 \ pi r ^ 2 + 2 \ pi r \ cdot 2r [/ matemática] o [matemática] 2 \ pi r ^ 2 + 4 \ pi r ^ 2 [/ matemática], que es decir, el área de superficie es [matemática] 6 \ pi r ^ 2 [/ matemática]. Sustituyendo r, tenemos [matemáticas] 6 \ pi \ sqrt [3] \ frac {V ^ 2} {4 \ pi ^ 2} [/ matemáticas], reorganizando tenemos [matemáticas] 3 \ sqrt [3] {2 \ pi} \ sqrt [3] {V ^ 2} [/ matemáticas]. Una aproximación da 5.53 veces [matemáticas] V ^ \ frac {2} 3 [/ matemáticas]

Esta vez la diferencia no es TAN grande y parece favorecer el cubo. Ahora es seguro apostar que esta respuesta puede ser correcta (antes estaba equivocada, como dije 10.39 en lugar de 6 en la primera, por Dios sabe qué razones)