Cómo demostrar que no hay líneas rectas en una parábola

Answer 1

Aquí hay dos enfoques que podrían funcionar para usted:
1) Si hay dos puntos en la curva, A y B, que definen una línea, hay un tercer punto entre ellos, C, también en la línea. Muestre que no existe tal línea o que esto solo es cierto cuando A, B y C son todos el mismo punto.

2) Use la definición de locus de una parábola para mostrar que la distancia desde el foco a la línea + la distancia desde ese punto a la directriz cambia a medida que se aleja del foco. Para ver esto, dibuje una línea horizontal, la directriz y un punto fuera de la línea, el foco. Ahora dibuja una línea entre los dos, la “línea recta en la parábola”. Elija dos puntos en la parábola / línea y compare las distancias desde la línea hasta la directriz en cada uno de los puntos y compare la distancia desde el foco a cada uno de los puntos. Debería poder sacar una conclusión que siempre sea cierta pero que contradiga la definición de una parábola.

Answer 2

Considere la parábola y = a * x ^ 2
Todas las parábolas se pueden rotar y traducir para llegar a este formulario. Por lo tanto, esta ecuación cubre todas las parábolas posibles en el plano 2D a los efectos de este problema.
Ahora, para que exista una línea recta, deberíamos poder encontrar un punto donde dy / dx no cambie.
Pero, dy / dx = 2ax
La derivada es diferente para todos los puntos de la parábola, ya que depende de xy solo hay una y para cada x.

Entonces podemos concluir que las parábolas no contienen secciones rectas.