Cómo demostrar que dos líneas se cruzan en geometría 3D

Deje que la ecuación de la primera línea sea

L1: (x-x1) [matemática] / a1 = (y-y1) / b1 = (z-z1) / c1 = k1 [/ matemática], donde [matemática] (x1, y1, z1) [/ matemática] es cualquier punto en la línea L1 y [matemáticas] (a1, b1, c1) [/ matemáticas] es la relación de dirección de la línea L1.

Deje que la ecuación de la segunda línea sea

L2: (x-x2) [matemática] / a2 = (y-y2) / b2 = (z-z2) / c1 = k2 [/ matemática], donde [matemática] (x2, y2, z2) [/ matemática] es cualquier punto en la línea L2 y [matemática] (a2, b2, c2) [/ matemática] es la relación de dirección de la línea L2.

Cualquier punto en la línea L1 viene dado por

[matemática] (x, y, z) [/ matemática] en L1 = [matemática] (a1 * k1 + x1, b1 * k1 + y1, c1 * k1 + z1) [/ matemática]… Ecuación 1

Cualquier punto en la línea L2 está dado por

[matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] en L2 = [matemáticas] (a2 * k2 + x2, b2 * k2 + y2, c2 * k2 + z2) [/ matemáticas]… Ecuación 2

Si las dos líneas se intersectan, habría un valor común de [matemáticas] (x, y, z) [/ matemáticas] que satisfaría ambas ecuaciones.

Supongamos que las líneas se cruzan.

Igualando las coordenadas x, y, z respectivamente,

[matemáticas] a1 * k1 + x1 = a2 * k2 + x2 [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas]… .. (a)

[matemáticas] b1 * k1 + y1 = b2 * k2 + y2 [/ matemáticas]… .. (b)

[matemática] c1 * k1 + z1 = c2 * k2 + z2 [/mathfont>….(c)

Ahora, necesitamos resolver para k1 y k2 para lo cual tenemos 3 ecuaciones independientes que hacer.

Elija cualquiera de los dos de su elección y resuelva para k1, k2.

Ahora, si el valor de k1 y k2 satisface la tercera ecuación (la ecuación que no ha utilizado para resolver para k1 y k2), entonces existe un punto en ambas líneas.

Entonces, las líneas se intersecan , si el valor de k1, k2 satisface las tres ecuaciones y no se intersectan si k1, k2 no satisface ninguna de las tres ecuaciones.

Espero que esto ayude 🙂

Gracias por leer

Si la distancia perpendicular entre las dos líneas llega a ser cero, entonces las dos líneas se cruzan.

La distancia entre dos líneas en R3 es igual a la distancia entre planos paralelos que contienen estas líneas.
Para encontrar esa distancia, primero encuentre el vector normal de esos planos: es el producto cruzado de los vectores direccionales de las líneas dadas. Para el vector normal de la forma (A, B, C) las ecuaciones que representan los planos son:

Hacha + Por + Cz + D1 = 0
Hacha + Por + Cz + D2 = 0
Toma las coordenadas de un punto que se encuentra en la primera línea y resuelve D1.
Del mismo modo para la segunda línea y D2.
La distancia que estamos buscando es:
Además, verifique si son paralelos.

Si la distancia perpendicular entre 2 líneas es cero, entonces se intersecan.

Deje [math] r1 = a1 + xb1 [/ math]

Y [matemáticas] r2 = a2 + yb2 [/ matemáticas]

Aquí r1 y r2 representan las 2 líneas, y a1, a2, b1, b2 son vectores. x e y son constantes. Estas dos ecuaciones representan la ecuación vectorial de las líneas dadas.

La distancia más corta entre dos líneas oblicuas viene dada por

[matemática] d = | (a1-a2). (b1 [/ matemática] X [matemática] b2) | / | b1 [/ matemática] X [matemática] b2 [/ matemática] |

Donde d es la distancia más corta entre ellos. Ahora d = 0, ya que se cruzan,

Entonces, [matemática] | (a1-a2). (B1 [/ matemática] X [matemática] b2 [/ matemática] [matemática]) | = 0 [/ matemática]

Por lo tanto, para probar que dos líneas se cruzan, conecte los valores en la expresión dada anteriormente y demuestre que es igual a cero.