En términos generales, la geometría algebraica es para los anillos como “geometría algebraica nueva y valiente” es para “anillos nuevos y valientes”, que es un término debido a Waldhausen. En la respuesta a continuación, voy a asumir cierta familiaridad con la geometría algebraica ordinaria y la topología algebraica.
Los “anillos nuevos y valientes” se refieren a una clase de objetos en topología algebraica llamados espectros de anillo . En términos generales, los espectros son una generalización homotópica de grupos abelianos, y los espectros de anillo son una generalización homotópica de anillos. Los espectros representan teorías de cohomología, y de forma similar los espectros de anillo representan teorías de cohomología multiplicativa; es decir, teorías de cohomología equipadas con productos de taza. En particular, cada anillo [matemática] R [/ matemática] da lugar a un espectro de anillo y, por lo tanto, a una teoría de la cohomología multiplicativa, que es simplemente cohomología ordinaria [matemática] H ^ {\ bullet} (X, R) [/ matemática] con coeficientes en [matemática] R [/ matemática]. Uno de los primeros y más importantes ejemplos que no proviene de un anillo es el espectro de anillo [matemática] KU [/ matemática] que representa la teoría K topológica [matemática] KU ^ {\ bullet} (X) [/ matemática]. Otra clase interesante de ejemplos son los espectros de Thom, que representan varias teorías de cohomología llamadas teorías del cobordismo.
En la geometría algebraica, una idea motivadora básica es pensar que cada anillo conmutativo es secretamente el anillo de funciones en algún espacio; Llamamos a estos espacios esquemas afines, y los esquemas son espacios que se construyen pegando esquemas afines juntos. El punto de partida de la “geometría algebraica nueva y valiente”, que también se llama “geometría algebraica espectral” (debido a Lurie), es pensar que los “anillos conmutativos nuevos y valientes” son secretamente los anillos de funciones en algunos “espacios nuevos y valientes”. “y luego construir más espacios pegándolos juntos.
(Advertencia: el proceso de pensar en un anillo conmutativo como el anillo de funciones en un esquema afín a veces se llama tomar su espectro. Este uso del término espectro no tiene ninguna relación con su uso en el término “espectro de anillo” anterior).
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Por cierto, el “nuevo y valiente anillo conmutativo” resulta ser una noción sorprendentemente sutil; Mientras que los anillos son conmutativos o no, los espectros del anillo tienen infinitos sabores de conmutatividad llamados [matemática] E_2, E_3, \ puntos [/ matemática] hasta e incluyendo [matemática] E _ {\ infty} [/ matemática], y además de estos son estructuras adicionales en un espectro de anillo en lugar de ser propiedades de un espectro de anillo. “Un nuevo anillo conmutativo valiente” correctamente probablemente debería referirse a espectros de anillo [matemático] E _ {\ infty} [/ matemático], pero es natural tratar de hacer “geometría algebraica nueva y valiente” con espectros de anillo [matemático] E_n [/ matemático] para cualquier valor de [math] n [/ math]; si [math] n [/ math] es finito, entonces tiene algo del sabor de la geometría algebraica no conmutativa.
Ahora, dado un esquema, puede ver el anillo de funciones en él, y si el esquema no es afín, este proceso pierde información en general. En la otra dirección, a partir de un anillo, es posible que desee realizarlo como el anillo de funciones en algún esquema que contiene más información que solo el anillo. De manera similar, en “geometría algebraica nueva y valiente” es posible que desee pensar en un espectro de anillo como el anillo de funciones en algún “nuevo esquema valiente” que contiene más información que solo el espectro de anillo. Un ejemplo motivador importante aquí son las formas modulares topológicas , o tmf para abreviar, un espectro de anillo [matemático] E _ {\ infty} [/ matemático] que, debido a Hopkins-Miller-Lurie, se sabe que es el anillo de funciones en un versión “nueva y valiente” de la pila de módulos de curvas elípticas. Esta “nueva pila valiente” contiene estrictamente más información que tmf en sí misma, y aunque tmf en sí misma ya es de gran interés para los topólogos algebraicos y otros, estudiar esta pila en sí misma y otras cosas similares debería ser aún más interesante. El documento al que se vinculó está estableciendo algunas bases para hacer cosas como esta.
(Realmente no te he dicho por qué deberías preocuparte por tmf, pero esa es su propia historia muy larga. Solo quería darte al menos un ejemplo de un “espacio nuevo y valiente”).